Um objeto está suspenso em um túnel de vento e a força é medida para diversos níveis de velocidade do vento. Os resultados estão tabelados abaixo:
10 20 30 40 50 60 70 80
25 70 380 550 610 1 220 830
Use a regressão por mínimos quadrados para relacionar esses dados com
uma equação de força com base em transformação

Passo 1

O enunciado pede ajustar uma lei de potência
F(v)=c,v^n
aos dados de v (velocidade) e F (força) fornecidos, usando regressão por mínimos quadrados após a transformação logarítmica. Vamos então trabalhar com
ln F = ln c + n,ln v
para estimar ln c e n.

Passo 2

Definimos
xii = ln vi e etai = ln Fi.
Para cada par (vi,Fi) (com i=1,dots,8) calculamos xii e etai:
v &: 10,;20,;30,;40,;50,;60,;70,;80, ln v&: 2,3026,;2,9957,;3,4012,;3,6889,;3,9120,;4,0943,;4,2485,;4,3820, F &: 25,;70,;380,;550,;610,;1,;220,;830, ln F&: 3,2189,;4,2485,;5,9402,;6,3099,;6,4120,;0,;5,3936,;6,7214

Passo 3

Calculamos as somas
Sxi=sumi=1^8xiiapprox29,0252, Seta=sumi=1^8etaiapprox38,2445,
Sxixi=sumi=1^8xii^2approx108,7635, Sxieta=sumi=1^8xii,etaiapprox141,0965
O estimador de inclinação n e de intercepto a=ln c é dado por
hat n =8,Sxieta-Sxi,Seta8,Sxixi-Sxi^2 approx8cdot141,0965-29,0252cdot38,24458cdot108,7635-29,0252^2 approx0,677,
hat a =Seta-hat n,Sxi8 approx38,2445-0,677cdot29,02528 approx2,3232

Passo 4

Voltando à forma original, temos c=e^hat a:
c = e^2,3232approx10,21
Logo a lei de potência ajustada é
F(v)approx10,21;v^0,677

Resposta

A relação de força obtida por mínimos quadrados é
boxedF(v)approx10,21;v^0,677

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