Um objeto com vetor posição alpha(t)=(x(t), y(t)) inicia seu movimento no ponto (0,1) e se move ao longo da parábola y=-14 x^2+1 com velocidade horizontal d xd t=2.
Encontre os vetores velocidade e aceleração do objeto no instante t=1;

Passo 1

O enunciado nos dá um objeto cuja posição é descrita pelo vetor
alpha(t) = l(x(t),,y(t)r),
que se move sobre a parábola
y = -tfrac14,x^2 + 1
com velocidade horizontal constante
dxdt=2.
Queremos encontrar o vetor velocidade alpha'(t) e o vetor aceleração alpha''(t) no instante t=1.

Passo 2

Para achar x(t), integramos
dxdt=2
em relação a t. Isso dá
x(t)=2t + C
Como o objeto parte de (0,1) em t=0, temos x(0)=0, logo C=0. Portanto
x(t)=2t

Passo 3

Usando a relação da parábola, substituímos x(t) em
y=-tfrac14,x^2+1
e obtemos
y(t) = -tfrac14,(2t)^2 +1 = -t^2 +1

Passo 4

O vetor velocidade é a derivada de alpha(t):
alpha'(t) = l(x'(t),,y'(t)r)
Como x'(t)=2 e y(t)=-t^2+1 implica y'(t)=-2t, temos
alpha'(t) = l(2,,-2tr)
O vetor aceleração é a derivada de alpha'(t):
alpha''(t) = l(x''(t),,y''(t)r) = l(0,,-2r),
pois x''(t)=0 e y''(t)=-2.

Passo 5

Basta agora avaliar em t=1:
alpha'(1) = l(2,,-2cdot1r) = (2,,-2),
alpha''(1)= (0,,-2)

Resposta

Vetor velocidade em t=1: ,(2,-2).
Vetor aceleração em t=1: ,(0,-2).

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