Um objeto com vetor posição alpha(t)=(x(t), y(t)) inicia seu movimento no ponto (0,1) e se move ao longo da parábola y=-14 x^2+1 com velocidade horizontal d xd t=2.
Escreva o vetor aceleração como combinação linear dos vetores T(t) e N(T) no instante t=1.

Passo 1

O enunciado diz que alpha(t)=(x(t),y(t)) descreve um objeto que se move sobre a parábola
y=-tfrac14x^2+1
com velocidade horizontal tfracdxdt=2. Queremos escrever o vetor aceleração alpha''(t) no instante t=1 como combinação linear dos vetores tangente unitário T(t) e normal unitário N(t). Para isso vamos precisar:
– encontrar x(t) e y(t),
– calcular alpha'(t), alpha''(t) e a velocidade escalar v(t)=|alpha'(t)|,
– obter T(t), depois T'(t) para chegar em N(t),
– usar a decomposição alpha''=v',T+kappa,v^2,N.

Passo 2

Como tfracdxdt=2 e o movimento começa em (0,1) para t=0, temos
x(t)=2t
Então
y(t)=-tfrac14l(2tr)^2+1=-t^2+1

Passo 3

O vetor velocidade é
alpha'(t)=l(x'(t),y'(t)r)=(2,,-2t)
A rapidez fica
v(t)=|alpha'(t)|=raiz2^2+(-2t)^2 =2raiz1+t^2

Passo 4

O vetor tangente unitário é
T(t)=alpha'(t)v(t) =(2,-2t)2raiz1+t^2 =l(tfrac1raiz1+t^2,,-tfractraiz1+t^2r)

Passo 5

Derivando alpha'(t) obtemos a aceleração em coordenadas cartesianas:
alpha''(t)=(0,,-2)

Passo 6

Para decompor alpha'' em componentes tangencial e normal, usamos
alpha''(t)=v'(t),T(t)+kappa(t),v(t)^2,N(t)
Primeiro
v'(t)=ddtl[2raiz1+t^2r] =2traiz1+t^2
A curvatura em parâmetro t é
kappa(t)=|alpha'(t)timesalpha''(t)||alpha'(t)|^3 =12(1+t^2)^3/2
O vetor normal unitário é
N(t)=T'(t)|T'(t)| e, após calcular T'(t), N(t)=l(-tfractraiz1+t^2,,-tfrac1raiz1+t^2r) ó

Passo 7

Agora avaliaremos tudo em t=1.
v(1)=2raiz2,
v'(1)=21raiz2=raiz2, kappa(1)=12l(2r)^3/2=14raiz2
– Os vetores unitários em t=1 são
T(1)=1raiz2(1,-1), N(1)=-1raiz2(1,1)
– O termo normal kappa(1),v(1)^2 vale
kappa(1),v(1)^2 =14raiz2times8 =84raiz2 =2raiz2 =raiz2
Logo em t=1
alpha''(1) =v'(1),T(1)+l[kappa(1),v(1)^2r],N(1) =raiz2,T(1)+raiz2,N(1)

Resposta

alpha''(1) =raiz2,T(1)+raiz2,N(1)

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