(OBM 2004) De quantos modos diferentes podemos pintar (usando apenas uma cor) as casas de um tabuleiro 4 times 4 de modo que cada linha e cada coluna possua exatamente uma casa pintada?

Passo 1

Beleza, o enunciado quer saber de quantas maneiras a gente pinta, com uma cor só, exatamente uma casa em cada linha e em cada coluna de um tabuleiro 4×4. Isso cai em combinatória, mais precisamente em permutações, porque é como se a gente estivesse escolhendo um mapeamento de linhas para colunas sem repetir. Para resolver, vamos ter que entender o que é fatorial e por que isso conta o número de jeitos de “alinhar” as linhas às colunas.

Passo 2

Imagina que tu vai pintar uma casa por linha, começando da linha 1 até a linha 4. Na linha 1, podes escolher qualquer uma das 4 colunas (4 opções). Depois de pintar lá, na linha 2 já sobram só 3 colunas livres (3 opções), porque não pode repetir a coluna da linha 1. Na linha 3 sobram 2 colunas, e na linha 4 sobra 1. Isso é exatamente o princípio da permutação sem repetição: o número de maneiras de ordenar 4 itens (colunas) em 4 posições (linhas).

Passo 3

Na linguagem matemática de permutações, a gente escreve “4 fatorial” para esse produto de escolhas sucessivas.
4! ;=; 4 times 3 times 2 times 1
Basta multiplicar tudo e pronto.

Resposta

O total de modos diferentes é 4! = 24$

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