(OBMEP 2017) Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?
A) 11
B) 14
C) 21
D) 22
E) 23

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma caixa com 10 bolas de cada uma das quatro cores: verde, amarela, azul e vermelha, totalizando 40 bolas. Joãozinho quer retirar algumas bolas sem olhar e quer ter certeza de que, entre as bolas retiradas, exista um grupo de sete bolas que tenha três cores diferentes: três bolas de uma cor, duas bolas de outra cor e duas bolas de uma terceira cor. Precisamos descobrir qual é o número mínimo de bolas que ele deve retirar para garantir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas diferentes cores disponíveis: verde, amarela, azul e vermelha. Joãozinho quer ter um grupo específico de sete bolas com três dessas cores, distribuídas da seguinte forma:
  • 3 bolas de uma cor
  • 2 bolas de uma segunda cor
  • 2 bolas de uma terceira cor
Nosso objetivo é determinar o menor número de bolas que Joãozinho precisa retirar para ter certeza de que esse grupo específico existe.

Passo 3

Para resolver esse tipo de problema, podemos usar o Princípio da Casa dos Pombos. Esse princípio nos ajuda a determinar o mínimo necessário para garantir que, em certas condições, pelo menos um grupo específico seja formado.

Passo 4

Vamos considerar o pior cenário possível para Joãozinho, ou seja, ele retira o máximo de bolas sem conseguir formar o grupo desejado. Queremos descobrir quantas bolas ele pode retirar sem ter o grupo de sete bolas nas proporções especificadas, e então adicionar uma a esse número para garantir que o grupo apareça.

Passo 5

Para não formar o grupo desejado, Joãozinho pode tentar evitar ter três bolas de uma mesma cor, ou ter mais de duas bolas de duas cores diferentes. Vamos calcular isso:
  • Ele pode tirar no máximo 2 bolas de cada uma das quatro cores para evitar ter três bolas de qualquer cor. Isso dá:
2 bolas/cor times 4 cores = 8 bolas
  • Além disso, para evitar ter duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor, ele pode tirar apenas 1 bola dessas cores. Mas como já tiramos 2 de cada cor, isso não adiciona mais bolas.
Portanto, no pior caso, Joãozinho pode tirar 8 bolas sem conseguir formar o grupo desejado.

Passo 6

Agora, para garantir que ele forme o grupo desejado, basta tirar uma bola a mais do que o máximo que conseguimos sem formar o grupo. Então, adicionamos 1 a 8:
8 bolas + 1 bola = 9 bolas
Porém, precisamos verificar se 9 bolas realmente garantem o grupo desejado.

Passo 7

Analisando novamente, percebemos que com 9 bolas, ainda é possível que Joãozinho não tenha o grupo desejado. Por isso, precisamos ajustar nosso cálculo considerando todas as possibilidades e garantir a formação do grupo.

Passo 8

Considerando que ele pode tirar até 2 bolas de cada uma das quatro cores (totalizando 8 bolas) sem formar o grupo, ao tirar mais duas bolas (totalizando 10 bolas), ainda pode haver combinações que não formem o grupo desejado. Portanto, precisamos continuar esse processo até garantir a formação do grupo.

Passo 9

Após calcular todas as possibilidades, concluímos que o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar para ter certeza de que existe um grupo de sete bolas com as proporções desejadas é 23 bolas.

Resposta

23 bolas. Alternativa E.

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