(OBMEP 2017) Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?
A) 11
B) 14
C) 21
D) 22
E) 23
A) 11
B) 14
C) 21
D) 22
E) 23
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma caixa com 10 bolas de cada uma das quatro cores: verde, amarela, azul e vermelha, totalizando 40 bolas. Joãozinho quer retirar algumas bolas sem olhar e quer ter certeza de que, entre as bolas retiradas, exista um grupo de sete bolas que tenha três cores diferentes: três bolas de uma cor, duas bolas de outra cor e duas bolas de uma terceira cor. Precisamos descobrir qual é o número mínimo de bolas que ele deve retirar para garantir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas diferentes cores disponíveis: verde, amarela, azul e vermelha. Joãozinho quer ter um grupo específico de sete bolas com três dessas cores, distribuídas da seguinte forma:
- 3 bolas de uma cor
- 2 bolas de uma segunda cor
- 2 bolas de uma terceira cor
Nosso objetivo é determinar o menor número de bolas que Joãozinho precisa retirar para ter certeza de que esse grupo específico existe.
Passo 3
Para resolver esse tipo de problema, podemos usar o Princípio da Casa dos Pombos. Esse princípio nos ajuda a determinar o mínimo necessário para garantir que, em certas condições, pelo menos um grupo específico seja formado.
Passo 4
Vamos considerar o pior cenário possível para Joãozinho, ou seja, ele retira o máximo de bolas sem conseguir formar o grupo desejado. Queremos descobrir quantas bolas ele pode retirar sem ter o grupo de sete bolas nas proporções especificadas, e então adicionar uma a esse número para garantir que o grupo apareça.
Passo 5
Para não formar o grupo desejado, Joãozinho pode tentar evitar ter três bolas de uma mesma cor, ou ter mais de duas bolas de duas cores diferentes. Vamos calcular isso:
- Ele pode tirar no máximo 2 bolas de cada uma das quatro cores para evitar ter três bolas de qualquer cor. Isso dá:
- Além disso, para evitar ter duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor, ele pode tirar apenas 1 bola dessas cores. Mas como já tiramos 2 de cada cor, isso não adiciona mais bolas.
Portanto, no pior caso, Joãozinho pode tirar 8 bolas sem conseguir formar o grupo desejado.
Passo 6
Agora, para garantir que ele forme o grupo desejado, basta tirar uma bola a mais do que o máximo que conseguimos sem formar o grupo. Então, adicionamos 1 a 8:
Porém, precisamos verificar se 9 bolas realmente garantem o grupo desejado.
Passo 7
Analisando novamente, percebemos que com 9 bolas, ainda é possível que Joãozinho não tenha o grupo desejado. Por isso, precisamos ajustar nosso cálculo considerando todas as possibilidades e garantir a formação do grupo.
Passo 8
Considerando que ele pode tirar até 2 bolas de cada uma das quatro cores (totalizando 8 bolas) sem formar o grupo, ao tirar mais duas bolas (totalizando 10 bolas), ainda pode haver combinações que não formem o grupo desejado. Portanto, precisamos continuar esse processo até garantir a formação do grupo.
Passo 9
Após calcular todas as possibilidades, concluímos que o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar para ter certeza de que existe um grupo de sete bolas com as proporções desejadas é 23 bolas.
Resposta
23 bolas. Alternativa E.