Seja \alpha(t) curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. A evoluta de \alpha é a curva determinada por
\beta(t)=\alpha(t)+\frac{1}{k(t)} n(t)
onde k é a curvatura de \alpha e n é vetor normal à \alpha. Prove que:
(a) \beta é curva diferenciável se k(t) \neq 0 para todo t
(b) Suponha que k(t) \neq 0 para todo t, então \beta é curva regular.
(c) Mostre que a tangente em t na evoluta de \alpha é normal a \alpha em t
(d) Considere as retas normais de \alpha em dois pontos próximos t_{1} e t_{2}, com t_{1} \neq t_{2}. Faça t_{1} tender a t_{2} e mostre que o ponto da interseção entre as respectivas normais converge para um ponto do traço da evoluta de \alpha.
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva regular \alpha(t) parametrizada pelo comprimento de arco (logo |\alpha'(t)|=1 para todo t) e define a evoluta
\beta(t)=\alpha(t)+\frac{1}{k(t)}\,n(t),
onde k(t) é a curvatura de \alpha e n(t) é o vetor normal unitário a \alpha em t.
As perguntas são:
(a) Provar que \beta é diferenciável se k(t)\neq 0 para todo t.
(b) Supondo k(t)\neq 0 para todo t, provar que \beta é curva regular.
(c) Mostrar que a tangente em t na evoluta de \alpha é normal a \alpha em t.
(d) Mostrar que, ao tomar as normais de \alpha em t_1 e t_2 com t_1\to t_2, o ponto de interseção converge para um ponto do traço da evoluta de \alpha.
Informações relevantes dadas:
\alpha é regular e parametrizada por comprimento de arco, então \alpha'(t)=T(t) é o vetor tangente unitário e |T(t)|=1.
k(t) é a curvatura de \alpha e n(t) é o vetor normal unitário.
Fórmulas de Frenet (para curvas planas parametrizadas por comprimento de arco) que serão usadas: \,T'(t)=k(t)\,n(t)\, e \,n'(t)=-k(t)\,T(t)\,.
Passo 2
Breve aula necessária (fórmulas e interpretações que vamos usar):
Parâmetro por comprimento de arco: significa que a variável do parâmetro é o comprimento s medido sobre a curva; escrevemos aqui t no lugar de s, portanto |\alpha'(t)|=1. O vetor tangente unitário é T(t)=\alpha'(t).
Curvatura k(t): medida de quanto a curva se desvia da reta tangente; para parametrização por comprimento de arco vale
k(t)=\big|T'(t)\big|=\big|\alpha''(t)\big|.
Vetor normal unitário n(t): é n(t)=\dfrac{T'(t)}{|T'(t)|} (no plano). As fórmulas de Frenet (no plano) recitam:
T'(t)=k(t)\,n(t),\qquad n'(t)=-k(t)\,T(t).
Essas fórmulas expressam como o sistema ortonormal (T,n) varia ao longo da curva.
Diferenciabilidade de \beta: como \beta envolve a função 1/k(t), para que \beta seja diferenciável é necessário que k seja diferenciável e que k(t)\neq 0 (para permitir 1/k e sua derivada).
Passo 3
Vamos diferenciar \beta(t)=\alpha(t)+\dfrac{1}{k(t)}\,n(t). Aplicamos a regra da soma e a regra do produto (ou cadeia) à segunda parcela. Lembre-se que \alpha'(t)=T(t).
Calcule \big(\tfrac{1}{k}\big)'(t) pela regra da cadeia:
Interpretação didática: a derivada de \beta existe sempre que k(t) é diferenciável e k(t)\neq 0 (pois usamos 1/k e sua derivada). Assim, se k(t)\neq 0 para todo t e k e n são diferenciáveis (o que segue da diferenciabilidade de \alpha e de k), então \beta é diferenciável. Isso responde (a). Importante: a fórmula explícita também será útil para (b) e (c).]
Passo 4
Recordando: uma curva é regular em t se \beta'(t)\neq 0.
Pelo resultado do passo anterior:
\beta'(t) = -\frac{k'(t)}{k(t)^2}\,n(t).
Como n(t) é unitário e não nulo, o único fator que pode anular \beta'(t) é o coeficiente -\dfrac{k'(t)}{k(t)^2}. Logo:
Portanto a observação crucial (e a correção que precisamos fazer ao enunciado) é: a condição k(t)\neq 0 sozinha NÃO garante que \beta seja regular; é preciso que k'(t)\neq 0 também. Em outras palavras:
\beta é regular em t se e somente se k'(t)\neq 0.
Se k'(t)=0 (isto é, a curvatura tem um extremo em t), então \beta'(t)=0 e \beta tem um ponto singular (cúspide) naquele t.
Exemplo que ilustra por que k\neq0 não basta: para uma circunferência de raio R, k(t)=1/R é constante, então k'(t)=0 e a evoluta é um ponto (o centro) — claramente não é uma curva regular.
Passo 5
A tangente da evoluta \beta em t é dada (quando \beta'(t)\neq 0) pelo vetor \beta'(t). Usando a expressão encontrada:
\beta'(t) = -\frac{k'(t)}{k(t)^2}\,n(t).
Isto mostra que \beta'(t) é um múltiplo escalar do vetor normal n(t) de \alpha. Assim a direção tangente de \beta em t é paralela (ou anti-paralela) à normal de \alpha em t. Em linguagem geométrica: a tangente à evoluta em um ponto corresponde à reta normal à curva \alpha nesse mesmo ponto (quando a evoluta tem tangente bem definido). Se k'(t)=0 aparece uma cúspide na evoluta e a tangente não está definida (ou seja, o argumento de paralelismo fica degenerado porque \beta'(t)=0).
Passo 6
Queremos mostrar que, dadas as normais em t_1 e t_2 (com t_1\neq t_2), o ponto de interseção dessas retas, quando t_1\to t_2, converge para \beta(t_2) (ou para \beta(t) em notação de ponto limite).
Fazemos o cálculo local: tome um ponto fixo t e faça t_1=t e t_2=t+h com h\to 0. A normal em t é o conjunto de pontos
Cancele \alpha(t) dos dois lados e reescreva agrupando componentes na base \{T(t),n(t)\}. Equacionando as componentes em T e em n obtemos, respectivamente:
Componente em T:
0 = h - v h k(t) + o(h).
Dividindo por h e passando ao limite h\to 0 dá
0 = 1 - v k(t) \quad\Longrightarrow\quad v \to \frac{1}{k(t)}.
Componente em n:
u = \frac{h^2}{2}k(t) + v + o(h^2).
Tomando h\to 0 e usando v\to 1/k(t) temos u\to 1/k(t).
Portanto o ponto de interseção
P(h)=\alpha(t)+u\,n(t)
tende, quando h\to 0, para
\alpha(t)+\frac{1}{k(t)}n(t)=\beta(t).
Isto prova que, ao aproximar os dois parâmetros, o ponto de interseção das respetivas normais converge para o ponto da evoluta \beta(t). Geometricamente: a evoluta é o lugar geométrico dos centros de curvatura, isto é, dos pontos de interseção das normais próximas; por isso o limite do ponto de interseção das normais tende ao centro de curvatura, \beta(t).
Resposta
(a) \beta é diferenciável se k(t)\neq 0 para todo t; mais precisamente \displaystyle \beta'(t)=-\frac{k'(t)}{k(t)^2}\,n(t).
(b) \beta é regular em t se e somente se k'(t)\neq 0. Logo a condição k(t)\neq 0 por si só não garante regularidade; é preciso k'(t)\neq 0 para todo t.
(c) A tangente da evoluta em t é paralela ao vetor normal n(t) de \alpha em t (pois \beta'(t) é múltiplo escalar de n(t)).
(d) O ponto de interseção das normais em t_1 e t_2 tende para \beta(t) quando t_1,t_2\to t; isto é, o limite da interseção das normais próximas é o ponto da evoluta \beta(t)=\alpha(t)+\dfrac{1}{k(t)}n(t).