Observação: Considere em todas as questões numéricas g=10,0 m / s^2.
Um astronauta está sendo testado em uma centrífuga, que possui diâmetro igual a 10 m, ao começar, gira de acordo com: theta=3 t^3+10 t^2+5 t+150, t esta cm segundos e theta cm radianos, Quando t=5 s, determine:
(a) O número de revoluções realizadas;
(b) As intensidades da velocidade angular ( omega) e da velocidade linear (v);
© As intensidades da aceleração tangencial ( a2) e da aceleração radial ( ai) do astronauta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um astronauta testado em uma centrífuga que gira com um diâmetro de 10 metros. A função que descreve o movimento angular da centrífuga é theta = 3t^3 + 10t^2 + 5t + 150, onde t é o tempo em segundos e theta está em radianos. A gente vai precisar aplicar conceitos de cinemática rotacional, como calcular o número de voltas, velocidade angular e linear, além das acelerações tangencial e radial.

Passo 2

Parte (a): Número de revoluções realizadas quando t = 5 s
Primeiro, vamos calcular o ângulo total theta em radianos no tempo t = 5 s.
theta = 3(5)^3 + 10(5)^2 + 5(5) + 150 = 3(125) + 10(25) + 25 + 150 = 375 + 250 + 25 + 150 = 800 radianos
Agora, para encontrar o número de revoluções, dividimos theta pelo ângulo de uma revolução completa, que é 2pi radianos.
Número de revoluções = 8002pi approx 8006,2832 approx 127,32 revoluções úçõçõ

Passo 3

Parte (b): Intensidades da velocidade angular ( omega) e da velocidade linear (v) em t = 5 s
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular omega, que é a derivada da posição angular theta em relação ao tempo.
omega = dthetadt = ddt(3t^3 + 10t^2 + 5t + 150) = 9t^2 + 20t + 5
Substituindo t = 5 s:
omega = 9(5)^2 + 20(5) + 5 = 9(25) + 100 + 5 = 225 + 100 + 5 = 330 rad/s
Agora, para encontrar a velocidade linear v, usamos a relação:
v = omega times r
Onde r é o raio da centrífuga. Como o diâmetro é 10 m, o raio r = 5 m.
v = 330 times 5 = 1650 m/s

Passo 4

Parte ©: Intensidades da aceleração tangencial ( at) e da aceleração radial ( ar) em t = 5 s
Primeiro, vamos encontrar a aceleração angular alpha, que é a derivada da velocidade angular omega em relação ao tempo.
alpha = domegadt = ddt(9t^2 + 20t + 5) = 18t + 20
Substituindo t = 5 s:
alpha = 18(5) + 20 = 90 + 20 = 110 rad/s^2
Agora, a aceleração tangencial at é dada por:
at = alpha times r = 110 times 5 = 550 m/s^2
A aceleração radial ar (também chamada de centrípeta) é dada por:
ar = omega^2 times r = (330)^2 times 5 = 108900 times 5 = 544500 m/s^2

Resposta

(a) O astronauta realizou aproximadamente 127,32 revoluções;
(b) A velocidade angular é 330 rad/s e a velocidade linear é 1650 m/s;
© A aceleração tangencial é 550 m/s² e a aceleração radial é 544500 m/s².

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