Questão 4.(2.0) Seja a função
f(x, y)=x yx^2+y^2
Calcule partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2.

Passo 1

O enunciado pede as segundas derivadas parciais de
f(x,y)=x,yx^2+y^2
O conteúdo é derivação de quociente e depois derivação de função de duas variáveis. Vamos usar a regra do quociente para obter partial f/partial x e partial f/partial y, e então diferenciar novamente para achar partial^2f/partial x^2 e partial^2f/partial y^2.

Passo 2

Calcular partial fpartial x e partial fpartial y por regra do quociente.
Definimos
N(x,y)=x,y, D(x,y)=x^2+y^2,
então
partial fpartial x =Nx,D - N,DxD^2 =y,(x^2+y^2) - x,ycdot 2x(x^2+y^2)^2 =y^3-x^2y(x^2+y^2)^2 =y,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2
Analogamente,
partial fpartial y =x,(x^2+y^2) - x,ycdot 2y(x^2+y^2)^2 =x^3-x,y^2(x^2+y^2)^2 =x,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora derivamos partial fpartial x=y,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2 em relação a x. Aplicando de novo a regra do quociente, obtemos após simplificação
partial^2fpartial x^2 =2,x,y,l(x^2-3y^2r)(x^2+y^2)^3

Passo 4

De modo semelhante, derivamos partial fpartial y=x,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2 em relação a y. O resultado simplificado é
partial^2fpartial y^2 =2,x,y,l(y^2-3x^2r)(x^2+y^2)^3

Resposta

partial^2fpartial x^2 =2,x,y,(x^2-3y^2)(x^2+y^2)^3, partial^2fpartial y^2 =2,x,y,(y^2-3x^2)(x^2+y^2)^3

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