Observação. Justifique com cálculos suas respostas.
Questão 1. (2.0) Calcule o gradiente das seguintes funções:
f(x, y)=(x^2+y^2) e^x y

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função
f(x,y) = l(x^2 + y^2r),e^x y
O gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para calcular cada derivada parcial, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para a exponencial.

Passo 2

Cálculo de partial fpartial x:
Aplicamos a regra do produto em
f(x,y) = u(x,y),v(x,y),
onde u = x^2+y^2 e v = e^x y.
Primeiro,
partial upartial x = 2x,
e
partial vpartial x = e^x y,partial (x y)partial x = e^x y,y
Logo, pela regra do produto,
partial fpartial x = partial upartial x,v + u,partial vpartial x = 2x,e^x y + (x^2+y^2),l(y,e^x yr)
Fatorando e^x y, obtemos
partial fpartial x = e^x y,l(2x + y(x^2+y^2)r)

Passo 3

Cálculo de partial fpartial y:
Novamente usamos u = x^2+y^2 e v = e^x y.
partial upartial y = 2y, partial vpartial y = e^x y,partial (x y)partial y = e^x y,x
Pela regra do produto,
partial fpartial y = partial upartial y,v + u,partial vpartial y = 2y,e^x y + (x^2+y^2),l(x,e^x yr)
Fatorando e^x y, resulta
partial fpartial y = e^x y,l(2y + x(x^2+y^2)r)

Resposta

O gradiente de f é
nabla f(x,y) = gl(e^x y,l(2x + y(x^2+y^2)r),;e^x y,l(2y + x(x^2+y^2)r)gr)

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