Observação. Justifique com cálculos suas respostas.
Questão 1. (2.0) Calcule o gradiente das seguintes funções:
a) f(x, y)=x^2 y^2 ln (1+x^2+y^2)
b) f(x, y)=(x^2+y^2) e^x y

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem uma questão que pede para calcular o gradiente de duas funções de duas variáveis. O gradiente é tipo uma setinha que aponta a direção de maior crescimento da função. Pra resolver isso, a gente vai precisar saber como fazer derivadas parciais, ou seja, derivar a função em relação a cada variável mantendo a outra constante. Vamos lá!

Passo 2

Parte a) f(x, y) = x^2 y^2 ln (1+x^2+y^2)
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y .
Derivada parcial em relação a x :
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
partial fpartial x = partialpartial x ( x^2 y^2 ) cdot ln (1+x^2+y^2) + x^2 y^2 cdot partialpartial x ln (1+x^2+y^2)
Calculando cada parte:
partialpartial x ( x^2 y^2 ) = 2x y^2
partialpartial x ln (1+x^2+y^2) = 2x1+x^2+y^2
Então,
partial fpartial x = 2x y^2 ln (1+x^2+y^2) + x^2 y^2 cdot 2x1+x^2+y^2 = 2x y^2 ln (1+x^2+y^2) + 2x^3 y^21+x^2+y^2
Derivada parcial em relação a y :
De forma similar,
partial fpartial y = partialpartial y ( x^2 y^2 ) cdot ln (1+x^2+y^2) + x^2 y^2 cdot partialpartial y ln (1+x^2+y^2)
Calculando cada parte:
partialpartial y ( x^2 y^2 ) = 2x^2 y
partialpartial y ln (1+x^2+y^2) = 2y1+x^2+y^2
Então,
partial fpartial y = 2x^2 y ln (1+x^2+y^2) + x^2 y^2 cdot 2y1+x^2+y^2 = 2x^2 y ln (1+x^2+y^2) + 2x^2 y^31+x^2+y^2

Passo 3

Parte b) f(x, y) = (x^2+y^2) e^x y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y .
Derivada parcial em relação a x :
Usamos novamente a regra do produto e a regra da cadeia.
partial fpartial x = partialpartial x ( x^2+y^2 ) cdot e^x y + (x^2+y^2) cdot partialpartial x e^x y
Calculando cada parte:
partialpartial x ( x^2+y^2 ) = 2x
partialpartial x e^x y = y e^x y
Então,
partial fpartial x = 2x e^x y + (x^2+y^2) y e^x y = (2x + y (x^2+y^2)) e^x y
Derivada parcial em relação a y :
De forma similar,
partial fpartial y = partialpartial y ( x^2+y^2 ) cdot e^x y + (x^2+y^2) cdot partialpartial y e^x y
Calculando cada parte:
partialpartial y ( x^2+y^2 ) = 2y
partialpartial y e^x y = x e^x y
Então,
partial fpartial y = 2y e^x y + (x^2+y^2) x e^x y = (2y + x (x^2+y^2)) e^x y

Resposta

O gradiente das funções é dado por:
a)
nabla f(x, y) = ( 2x y^2 ln (1+x^2+y^2) + 2x^3 y^21+x^2+y^2, 2x^2 y ln (1+x^2+y^2) + 2x^2 y^31+x^2+y^2 )
b)
nabla f(x, y) = ( (2x + y (x^2+y^2)) e^x y, (2y + x (x^2+y^2)) e^x y )

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