Observação. Justifique com cálculos suas respostas.
Questão 1. (2.0) Calcule o gradiente das seguintes funções:
a)
b)
Questão 1. (2.0) Calcule o gradiente das seguintes funções:
a)
b)
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem uma questão que pede para calcular o gradiente de duas funções de duas variáveis. O gradiente é tipo uma setinha que aponta a direção de maior crescimento da função. Pra resolver isso, a gente vai precisar saber como fazer derivadas parciais, ou seja, derivar a função em relação a cada variável mantendo a outra constante. Vamos lá!
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Calculando cada parte:
Então,
Derivada parcial em relação a
:
De forma similar,
De forma similar,
Calculando cada parte:
Então,
Passo 3
Parte b)
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Usamos novamente a regra do produto e a regra da cadeia.
Usamos novamente a regra do produto e a regra da cadeia.
Calculando cada parte:
Então,
Derivada parcial em relação a
:
De forma similar,
De forma similar,
Calculando cada parte:
Então,
Resposta
O gradiente das funções é dado por:
a)
b)