Questão 5.(2.0) Determine os pontos críticos da função
f(x, y)=x^4+y^4-4 x-4 y+5

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de f(x,y)=x^4+y^4-4x-4y+5. Como ponto crítico em funções de duas variáveis é onde o gradiente é zero, vamos precisar calcular nabla f=(fx,fy) e igualar ambos a zero.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx = partialpartial xl(x^4+y^4-4x-4y+5r) =4x^3-4,
fy = partialpartial yl(x^4+y^4-4x-4y+5r) =4y^3-4

Passo 3

Impondo fx=0 e fy=0 obtemos o sistema
4x^3-4=0, 4y^3-4=0
que se simplifica em
x^3=1, y^3=1
Na reta real, cada equação tem solução 1, logo
x=1, y=1

Resposta

O único ponto crítico é (1,1).

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