Questão 2.(2.0) Determine partial hpartial u onde h(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)) no seguinte caso:
z=f(x, y)=x^3-x^2 y+4 y, x=g1(u, v)=u^3+v^3, y=g2(u, v)=u^2 v^2

Passo 1

O enunciado dá uma função composta
h(u,v)=fl(x(u,v),,y(u,v)r),
com
f(x,y)=x^3-x^2y+4y, x(u,v)=u^3+v^3, y(u,v)=u^2v^2,
e pede partial hpartial u. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais:
partial hpartial u = fx,partial xpartial u + fy,partial ypartial u

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
fx=partialpartial xl(x^3-x^2y+4yr) =3x^2-2xy, fy=partialpartial yl(x^3-x^2y+4yr) =-x^2+4

Passo 3

Agora derivamos x(u,v) e y(u,v) em relação a u:
partial xpartial u =partialpartial u(u^3+v^3) =3u^2, partial ypartial u =partialpartial u(u^2v^2) =2u,v^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
partial hpartial u = l(3x^2-2xyr)cdot 3u^2 + l(-x^2+4r)cdot 2u,v^2

Passo 5

Finalmente, substituímos x=u^3+v^3 e y=u^2v^2:
partial hpartial u =3u^2l(3(u^3+v^3)^2-2(u^3+v^3),u^2v^2r) +2u,v^2l(- (u^3+v^3)^2+4r)
Podemos escrever em forma expandida ou fatorada. Por exemplo,
partial hpartial u =9u^2(u^3+v^3)^2 -6u^4v^2(u^3+v^3) -2u,v^2(u^3+v^3)^2 +8u,v^2

Resposta

partial hpartial u =9u^2(u^3+v^3)^2 -6u^4v^2(u^3+v^3) -2u,v^2(u^3+v^3)^2 +8u,v^2

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