Questão 5.(2.0) a) Determine os pontos críticos da função
f(x, y)=x^4+y^4-4 x-4 y+5
b) Classifique-os como máximo ou mínimo local.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x^4+y^4-4x-4y+5
e depois classificá-los como máximo ou mínimo local. Vamos usar derivadas parciais para resolver nabla f=0 e em seguida o teste da matriz Hessiana para classificar o ponto encontrado.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e impomos-nas iguais a zero:
partial fpartial x=4x^3-4=0 Longrightarrow x^3=1 Longrightarrow x=1,
partial fpartial y=4y^3-4=0 Longrightarrow y^3=1 Longrightarrow y=1
Logo o único ponto crítico é (1,1).

Passo 3

Para classificar usamos a matriz Hessiana de f:
Hf(x,y) = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y[6pt] partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = 12x^2 & 0 0 & 12y^2
No ponto (1,1) temos
Hf(1,1) = 12 & 0 0 & 12 ,
que é definida positiva (autovalores 12>0). Pelo teste do Hessiano, (1,1) é ponto de mínimo local.]

Resposta

a) O único ponto crítico é (1,1).
b) Em (1,1) há um mínimo local.

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