Observação: prática adicional nas técnicas de integração é for-
integral0^pi / 2 cos ^3 x sen 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^pi/2cos^3x,sin2x,dx. Aqui vamos usar técnicas de integração: identidade trigonométrica e substituição simples.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade sin(2x)=2sin xcos x para reescrever o integrando. Assim temos:
cos^3x,sin2x=cos^3xcdot(2sin xcos x)=2cos^4xsin x

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=cos x, de modo que du=-sin x,dx. Os limites mudam de x=0 para u=1 e de x=pi/2 para u=0. A integral vira:
I=2integral0^pi/2cos^4xsin x,dx =2integral1^0u^4(-du) =2integral0^1u^4,du

Passo 4

Basta agora calcular a integral de potência:
2integral0^1u^4,du=2[u^55]0^1=2cdot15=25

Resposta

25

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