Observação: Resolva de forma elegante as questões.
04. Achar a área do triângulo que tem os vértices nos pontos (3,-1,2),(1,-1,-3) e (4,-3,1).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices são os pontos (3,-1,2), (1,-1,-3) e (4,-3,1).
Informações dadas:
  • Vértice A = (3,-1,2).
  • Vértice B = (1,-1,-3).
  • Vértice C = (4,-3,1).
Pergunta: calcular a área do triângulo determinado por A, B e C.

Passo 2

Primeiro passo prático: construir vetores a partir de um vértice comum (vou usar A) até os outros vértices. Esses vetores serão usados para calcular a área.
Definição usada (explicação didática): se A=(x_A,y_A,z_A) e B=(x_B,y_B,z_B), então o vetor \vec{AB} é dado por \vec{AB} = (x_B-x_A,\; y_B-y_A,\; z_B-z_A). Isso é só subtrair coordenada a coordenada — pensa como deslocamento de A até B.
Calculemos:
\vec{AB} = B - A = (1-3,\; -1-(-1),\; -3-2) = (-2,\;0,\;-5).
\vec{AC} = C - A = (4-3,\; -3-(-1),\; 1-2) = (1,\;-2,\;-1).

Passo 3

Agora precisamos de uma forma de obter a área. Informação-chave (explicação didática): a área do paralelogramo gerado por dois vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3 é o módulo do produto vetorial \|\vec{u}\times\vec{v}\|. O triângulo formado por esses vetores (quando colocados com o mesmo ponto inicial) tem área exatamente metade disso:
\text{Área do triângulo} = \tfrac{1}{2}\,\|\vec{u}\times\vec{v}\|.Áâ
Aqui \|\cdot\| é o comprimento (magnitude) do vetor. Vou aplicar isso com \vec{u}=\vec{AB} e \vec{v}=\vec{AC}.

Passo 4

Preciso calcular o produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}. Lembrete (didática simples): se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\big).
Aplicando com \vec{a}=\vec{AB}=(-2,0,-5) e \vec{b}=\vec{AC}=(1,-2,-1):
Calcule cada componente:
\text{componente }1: a_2 b_3 - a_3 b_2 = 0\cdot(-1) - (-5)\cdot(-2) = 0 - 10 = -10.
\text{componente }2: a_3 b_1 - a_1 b_3 = (-5)\cdot 1 - (-2)\cdot(-1) = -5 - 2 = -7.
\text{componente }3: a_1 b_2 - a_2 b_1 = (-2)\cdot(-2) - 0\cdot 1 = 4 - 0 = 4.
Portanto
\vec{AB}\times\vec{AC} = (-10,\,-7,\,4).

Passo 5

Agora calculamos o módulo desse vetor (explicação didática): o comprimento de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Então
\big\|\vec{AB}\times\vec{AC}\big\| = \sqrt{(-10)^2 + (-7)^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 49 + 16} = \sqrt{165}.

Passo 6

Finalmente, a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial (relembrando a fórmula):
\text{Área} = \tfrac{1}{2}\,\big\|\vec{AB}\times\vec{AC}\big\| = \tfrac{1}{2}\sqrt{165}.Á

Resposta

\tfrac{\sqrt{165}}{2}

Exercícios relacionados