Observações do crescimento de tumores em animais indicam que obedegem a equação diferencial:
\frac{d y}{d t}=-k y \ln \left(\frac{y}{A}\right)
onde k e A săo constantes positivas, Esta equaçio diferencial is vezes é chamada de lei de crescimento de Gompertz.
(a) Resolva a equação diferencial sujeita à condiçāo inicial y(0)=y_{0}
(b) Mostre que se \Psi_{0}<A, a soluçāo é uma funçāo crescente para todo instunte t e encontre sas relaçües entre yo e A tal que o gráfico de y versus t não tenha ponto de inflexāo.
com constantes k,A>0 e condição inicial y(0)=y_{0}. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e depois analisar primeira e segunda derivadas para monotonicidade e ponto de inflexão.
O ponto de inflexão satisfaz y''=0, i.e. \ln(y/A)=0 (isto é y=A, ocorre só no limite t\to\infty) ou \ln(y/A)=-1 (isto é y=A/e, ocorre em tempo finito se a curva passa por esse valor).
Passo 6
Como y(t) cresce de y_{0} até A, ela atinge A/e em tempo finito se e somente se y_{0}<A/e. Logo não há ponto de inflexão quando
y_{0}\ge \frac{A}{e} \quad(\text{com }y_{0}<A\text{ para crescimento}).