1. Observações do crescimento de tumores em animais indicam que obedegem a equação diferencial:
\frac{d y}{d t}=-k y \ln \left(\frac{y}{A}\right)
onde k e A săo constantes positivas, Esta equaçio diferencial is vezes é chamada de lei de crescimento de Gompertz.
(a) Resolva a equação diferencial sujeita à condiçāo inicial y(0)=y_{0}
(b) Mostre que se \Psi_{0}<A, a soluçāo é uma funçāo crescente para todo instunte t e encontre sas relaçües entre yo e A tal que o gráfico de y versus t não tenha ponto de inflexāo.

Passo 1

O enunciado dá a lei de Gompertz
\frac{dy}{dt} = -k\,y\;\ln\!\bigl(\tfrac{y}{A}\bigr),
com constantes k,A>0 e condição inicial y(0)=y_{0}. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e depois analisar primeira e segunda derivadas para monotonicidade e ponto de inflexão.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
\frac{1}{y\,\ln\!\bigl(\tfrac{y}{A}\bigr)}\,dy \;=\;-k\,dt.
Fazendo a substituição u = \ln\!\bigl(\tfrac{y}{A}\bigr), temos du = \tfrac{1}{y}\,dy, portanto
\frac{1}{u}\,du = -k\,dt.
Integrando ambos os lados, obtemos
\ln\bigl|u\bigr| = -k\,t + C.

Passo 3

Voltando a u=\ln(y/A),
\ln\bigl|\ln(y/A)\bigr| = -k\,t + C \;\Longrightarrow\; \ln(y/A) = D\,e^{-k t},
onde D = e^{C}. Usando y(0)=y_{0}
\ln\bigl(\tfrac{y_{0}}{A}\bigr) = D,
logo a solução explícita é
\ln\!\bigl(\tfrac{y}{A}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{y_{0}}{A}\bigr)\,e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad y(t) = A\,\exp\!\Bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{y_{0}}{A}\bigr)\,e^{-k t}\Bigr) = A\Bigl(\tfrac{y_{0}}{A}\Bigr)^{e^{-k t}}.

Passo 4

Para y_{0}<A temos \tfrac{y_{0}}{A}<1, logo em todo t \ln(y/A)<0. Como
\frac{dy}{dt} = -k\,y\,\ln\!\bigl(\tfrac{y}{A}\bigr),
o produto -k\,y é negativo vezes \ln(y/A)<0 dy/dt>0. Portanto y(t) é crescente para todo t.

Passo 5

Para achar inflexão, calculamos
y'=-k\,y\,\ln\!\bigl(\tfrac{y}{A}\bigr),
y'' = \frac{d}{dt}(y') = k^2\,y\,\ln\!\bigl(\tfrac{y}{A}\bigr)\,\bigl(1+\ln\!\tfrac{y}{A}\bigr).
O ponto de inflexão satisfaz y''=0, i.e. \ln(y/A)=0 (isto é y=A, ocorre só no limite t\to\infty) ou \ln(y/A)=-1 (isto é y=A/e, ocorre em tempo finito se a curva passa por esse valor).

Passo 6

Como y(t) cresce de y_{0} até A, ela atinge A/e em tempo finito se e somente se y_{0}<A/e. Logo não há ponto de inflexão quando
y_{0}\ge \frac{A}{e} \quad(\text{com }y_{0}<A\text{ para crescimento}).

Resposta

(a) y(t) = A\,\exp\!\Bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{y_{0}}{A}\bigr)\,e^{-k t}\Bigr) = A\Bigl(\tfrac{y_{0}}{A}\Bigr)^{e^{-k t}}.
(b) Se y_{0}<A, então \ln(y/A)<0 implica dy/dt>0, logo y(t) é crescente. O gráfico não apresenta ponto de inflexão se e somente se
y_{0}\ge \frac{A}{e}.

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