Resolva as seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}+2 x y+4 x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + 2x\,y + 4x = 0
que é uma EDO linear no formato
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
com P(x)=2x e Q(x)=-4x. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
e^{x^2}\frac{dy}{dx} + 2x\,e^{x^2}y + 4x\,e^{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{x^2}y\bigr)' + 4x\,e^{x^2} = 0.

Passo 3

Reescrevendo, isolamos a derivada exata
\bigl(e^{x^2}y\bigr)' = -4x\,e^{x^2}.
Agora integramos em relação a x:
e^{x^2}y = \int -4x\,e^{x^2}\,dx = -2\,e^{x^2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, isolamos y:
y = \frac{-2\,e^{x^2} + C}{e^{x^2}} = -2 + C\,e^{-x^2}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = -2 + C\,e^{-x^2},
onde C é uma constante arbitrária.

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