1. Observações do crescimento de tumores em animais indicam que obedegem a equação diferencial:
\frac{d y}{d t}=-k y \ln \left(\frac{y}{A}\right)
onde k e A săo constantes positivas, Esta equaçio diferencial is vezes é chamada de lei de crescimento de Gompertz.
(a) Resolva a equação diferencial sujeita à condiçāo inicial y(0)=y_{0}
(b) Mostre que se \Psi_{0}<A, a soluçāo é uma funçāo crescente para todo instunte t e encontre sas relaçües entre yo e A tal que o gráfico de y versus t não tenha ponto de inflexāo.

Passo 1

O enunciado apresenta a lei de crescimento de Gompertz, dada pela equação diferencial
\frac{dy}{dt} = -k\,y\,\ln\!\bigl(\tfrac{y}{A}\bigr),
com k>0, A>0 e condição inicial y(0)=y_{0}.
Para resolver (a) usaremos separação de variáveis; para (b) faremos análise do sinal de \tfrac{dy}{dt} (monotonicidade) e de \tfrac{d^{2}y}{dt^{2}} (concavidade e ponto de inflexão).

Passo 2

Separe as variáveis e integre:
\int \frac{1}{y\,\ln\!\bigl(\tfrac{A}{y}\bigr)}\,dy \;=\; \int k\,dt.
Fazendo a substituição u=\ln\!\bigl(\tfrac{A}{y}\bigr), obtém-se
-\ln\bigl(\ln(\tfrac{A}{y})\bigr) = kt + C.
Em t=0, \ln(\tfrac{A}{y_{0}}) C, logo
\ln\bigl(\ln(\tfrac{A}{y})\bigr) = -\,kt + \ln\bigl(\ln(\tfrac{A}{y_{0}})\bigr).

Passo 3

Exponenciando e resolvendo para y, vem
\ln\!\bigl(\tfrac{A}{y}\bigr) \;=\; \ln\!\bigl(\tfrac{A}{y_{0}}\bigr)\,e^{-kt} \quad\Rightarrow\quad \frac{A}{y} = \exp\!\bigl(\ln(\tfrac{A}{y_{0}})\,e^{-kt}\bigr).
Assim a solução explícita é
\boxed{% y(t) = A \,\exp\!\bigl(\ln(\tfrac{y_{0}}{A})\,e^{-kt}\bigr) \;=\; A\,\bigl(\tfrac{y_{0}}{A}\bigr)^{e^{-kt}}.}

Passo 4

Para y_{0}<A, a solução fica sempre com 0<y(t)<A. O sinal de
\frac{dy}{dt} = -k\,y\,\ln\!\bigl(\tfrac{y}{A}\bigr) = k\,y\,\ln\!\bigl(\tfrac{A}{y}\bigr)
é positivo porque \ln(\tfrac{A}{y})>0. Logo y(t) é crescente para todo t\ge0.

Passo 5

Calcule a segunda derivada. Seja m=\ln(\tfrac{y_{0}}{A})<0. Um cálculo direto dá
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} = k^{2}\,m\,y\,e^{-kt}\,\bigl(1 + m\,e^{-kt}\bigr).
O ponto de inflexão ocorre quando 1 + m\,e^{-kt}=0, isto é
e^{-kt_*} = -\frac{1}{m} \;\Longrightarrow\; t_* = \frac{1}{k}\,\ln\bigl(-m\bigr) = \frac{1}{k}\,\ln\!\bigl(-\ln(\tfrac{y_{0}}{A})\bigr).
Para t_*>0 é preciso -\ln(\tfrac{y_{0}}{A})>1, ou seja
\ln\!\bigl(\tfrac{A}{y_{0}}\bigr) > 1 \;\Longleftrightarrow\; \tfrac{A}{y_{0}} > e \;\Longleftrightarrow\; y_{0} < \frac{A}{e}.
Se y_{0}\ge \tfrac{A}{e}, não existe t_{*}>0 e não há ponto de inflexão.

Resposta

(a) \displaystyle y(t) = A\,\exp\!\bigl(\ln(\tfrac{y_{0}}{A})\,e^{-kt}\bigr).
(b) Se y_{0}<A, então \tfrac{dy}{dt}>0 e y(t) cresce para todo t.
O gráfico não tem ponto de inflexão se, e só se,
y_{0}\;\ge\;\frac{A}{e}.

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