- Observações do crescimento de tumores em animais indicam que obedegem a equação diferencial:
onde
e
săo constantes positivas, Esta equaçio diferencial is vezes é chamada de lei de crescimento de Gompertz.
(a) Resolva a equação diferencial sujeita à condiçāo inicial
(b) Mostre que se
, a soluçāo é uma funçāo crescente para todo instunte
e encontre sas relaçües entre yo e
tal que o gráfico de
versus
não tenha ponto de inflexāo.
(a) Resolva a equação diferencial sujeita à condiçāo inicial
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado apresenta a lei de crescimento de Gompertz, dada pela equação diferencial
com
,
e condição inicial
.
Para resolver (a) usaremos separação de variáveis; para (b) faremos análise do sinal de (monotonicidade) e de
(concavidade e ponto de inflexão).
Para resolver (a) usaremos separação de variáveis; para (b) faremos análise do sinal de
Passo 2
Separe as variáveis e integre:
Fazendo a substituição
, obtém-se
Em
,
dá
, logo
Passo 3
Exponenciando e resolvendo para
, vem
Assim a solução explícita é
Passo 4
Para
, a solução fica sempre com
. O sinal de
é positivo porque
. Logo
é crescente para todo
.
Passo 5
Calcule a segunda derivada. Seja
. Um cálculo direto dá
O ponto de inflexão ocorre quando
, isto é
Para
é preciso
, ou seja
Se
, não existe
e não há ponto de inflexão.
Resposta
(a)
(b) Se , então
e
cresce para todo
.
O gráfico não tem ponto de inflexão se, e só se,
(b) Se
O gráfico não tem ponto de inflexão se, e só se,