Resolva as seguintes equações diferenciais:
(x \operatorname{cosh} y) \frac{d y}{d x}-\left(\frac{\ln x}{x}-\operatorname{sinh} x+4\right)=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(x \operatorname{cosh} y)\,\frac{dy}{dx}\;-\;\Bigl(\frac{\ln x}{x}-\operatorname{sinh} x+4\Bigr)\;=\;0
O conteúdo é separação de variáveis. Para resolver, vamos reescrever em forma separável e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Isolamos dy e dx:
x\operatorname{cosh} y\,\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{\ln x}{x}-\operatorname{sinh} x+4
dividindo por x\operatorname{cosh} y e multiplicando por dx:
\operatorname{cosh} y\,dy \;=\;\frac{\frac{\ln x}{x}-\operatorname{sinh} x+4}{\,x\,}\,dx
ou seja
\operatorname{cosh} y\,dy \;=\;\Bigl(\frac{\ln x}{x^2}-\frac{\operatorname{sinh} x}{x}+\frac{4}{x}\Bigr)\,dx

Passo 3

Integramos o lado esquerdo:
\int \operatorname{cosh} y\,dy \;=\;\operatorname{sinh} y

Passo 4

Integramos o lado direito termo a termo:
  1. \displaystyle\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx: usar partes com u=\ln x, dv=x^{-2}dx resulta em
\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx \;=\;-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}\,.
  1. \displaystyle\int \frac{\operatorname{sinh} x}{x}\,dx é a integral especial chamada Sinh Integral, denotada por \mathrm{Shi}(x):
\int \frac{\operatorname{sinh} x}{x}\,dx \;=\;\mathrm{Shi}(x)\,.
  1. \displaystyle\int \frac{4}{x}\,dx = 4\ln x.
Somando tudo:
\int\Bigl(\frac{\ln x}{x^2}-\frac{\operatorname{sinh} x}{x}+\frac{4}{x}\Bigr)dx =\Bigl(-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}\Bigr)\;-\;\mathrm{Shi}(x)\;+\;4\ln x\;+\;C.

Passo 5

Igualando as integrais e reunindo constantes, obtemos a solução implícita:
\operatorname{sinh} y \;=\;4\ln x \;-\;\mathrm{Shi}(x)\;-\;\frac{\ln x+1}{x}\;+\;C.

Resposta

\operatorname{sinh} y = 4\ln x \;-\;\mathrm{Shi}(x)\;-\;\frac{\ln x+1}{x}\;+\;C,
onde \mathrm{Shi}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{\operatorname{sinh} t}{t}\,dt e C é a constante de integração.

Exercícios relacionados