Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
x^3-127 e x^3+127;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões
x^3-tfrac127
e
x^3+tfrac127
reconhecendo que são casos de diferença e soma de cubos.
Lembrando as fórmulas gerais:
a^3-b^3=(a-b)l(a^2+ab+b^2r),
a^3+b^3=(a+b)l(a^2-ab+b^2r)

Passo 2

Para a diferença de cubos, temos
x^3-l(tfrac13r)^3,
ou seja, a=x e b=tfrac13. Aplicando
a^3-b^3=(a-b)l(a^2+ab+b^2r),
obtemos
x^3-tfrac127=(x-tfrac13)l(x^2+xcdottfrac13+(tfrac13)^2r)
Como (tfrac13)^2=tfrac19, a fatoração final é
x^3-tfrac127=(x-tfrac13)l(x^2+tfracx3+tfrac19r)

Passo 3

Para a soma de cubos, temos
x^3+l(tfrac13r)^3,
ou seja, a=x e b=tfrac13. Usando
a^3+b^3=(a+b)l(a^2-ab+b^2r),
chegamos a
x^3+tfrac127=(x+tfrac13)l(x^2-xcdottfrac13+(tfrac13)^2r)
Substituindo (tfrac13)^2=tfrac19, fica
x^3+tfrac127=(x+tfrac13)l(x^2-tfracx3+tfrac19r)

Resposta

x^3-tfrac127=(x-tfrac13)l(x^2+tfracx3+tfrac19r),
x^3+tfrac127=(x+tfrac13)l(x^2-tfracx3+tfrac19r)

Exercícios relacionados