Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
27 x^3-18 e 27 x^3+18;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões
27x^3-18
e
27x^3+18
reconhecendo que cada uma é respectivamente uma diferença ou uma soma de cubos. Vamos usar as fórmulas:
a^3-b^3=(a-b)l(a^2+ab+b^2r), a^3+b^3=(a+b)l(a^2-ab+b^2r)

Passo 2

Identificamos em ambas as expressões:
27x^3=(3x)^3, 18=l(tfrac12r)^3
Logo escolhemos
a=3x, b=tfrac12

Passo 3

Para a diferença de cubos
27x^3-18=(3x)^3-l(tfrac12r)^3,
aplicamos
a^3-b^3=(a-b)l(a^2+ab+b^2r),
ficando
27x^3-18 =l(3x-tfrac12r)l((3x)^2+3xcdottfrac12+l(tfrac12r)^2r) =l(3x-tfrac12r)l(9x^2+tfrac32x+tfrac14r)

Passo 4

Para a soma de cubos
27x^3+18=(3x)^3+l(tfrac12r)^3,
usamos
a^3+b^3=(a+b)l(a^2-ab+b^2r),
resultado
27x^3+18 =l(3x+tfrac12r)l(9x^2-tfrac32x+tfrac14r)

Resposta

27x^3-18 =l(3x-tfrac12r)l(9x^2+tfrac32x+tfrac14r),
27x^3+18 =l(3x+tfrac12r)l(9x^2-tfrac32x+tfrac14r)

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