Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
8 y^3-18 e 8 y^3+18;

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos fatorar as expressões
8y^3-18
e
8y^3+18
usando as identidades de soma e diferença de cubos:
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + a b + b^2)
a^3 + b^3 = (a + b),(a^2 - a b + b^2)

Passo 2

Em ambas as expressões reconhecemos que
8y^3 = (2y)^3
e
18 = l(12r)^3
Logo, podemos definir a = 2y e b = tfrac12.

Passo 3

Para a diferença de cubos ,8y^3 - tfrac18 = a^3 - b^3, aplicamos
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + a b + b^2)
Substituindo a=2y e b=tfrac12, vem
8y^3 - tfrac18 = l(2y - tfrac12r)l((2y)^2 + (2y),tfrac12 + l(tfrac12r)^2r)
= l(2y - tfrac12r)l(4y^2 + y + tfrac14r)

Passo 4

Para a soma de cubos ,8y^3 + tfrac18 = a^3 + b^3, usamos
a^3 + b^3 = (a + b),(a^2 - a b + b^2)
Com a=2y e b=tfrac12, obtemos
8y^3 + tfrac18 = l(2y + tfrac12r)l((2y)^2 - (2y),tfrac12 + l(tfrac12r)^2r)
= l(2y + tfrac12r)l(4y^2 - y + tfrac14r)

Resposta

8y^3 - 18 = l(2y - tfrac12r)l(4y^2 + y + tfrac14r),
8y^3 + 18 = l(2y + tfrac12r)l(4y^2 - y + tfrac14r)

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