Resolva as seguintes recorrências lineares de 1^{\mathrm{a}} ordem.
\quad x_{n+1}=(n+1) x_{n}+n e x_{1}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência de primeira ordem
x_{n+1} = (n+1)\,x_n + n,
com condição inicial x_1 = 1.
O conteúdo é solução de recorrência linear não homogênea com coeficiente variável. Vamos usar a forma geral
x_n = x_1 \prod_{i=1}^{n-1} a_i \;+\;\sum_{j=1}^{n-1} \Bigl(b_j \prod_{i=j+1}^{n-1} a_i\Bigr),
onde a_i e b_i vêm da escrita x_{i+1}=a_i x_i + b_i.

Passo 2

Identificamos
a_n = n+1, \qquad b_n = n.
Logo
\prod_{i=1}^{n-1} a_i = \prod_{i=1}^{n-1}(i+1).

Passo 3

Calcular a parte homogênea:
\prod_{i=1}^{n-1}(i+1) = 2\cdot3\cdot4\cdots n = n!.
Portanto o termo oriundo de x_1 é
x_1\prod_{i=1}^{n-1}a_i =1\cdot n! =n!.

Passo 4

Calcular a soma não homogênea:
\sum_{j=1}^{n-1} b_j\prod_{i=j+1}^{n-1}a_i = \sum_{j=1}^{n-1} j\;\frac{n!}{(j+1)!} = n!\sum_{j=1}^{n-1}\frac{j}{(j+1)!}.

Passo 5

Simplificar a soma por telescopia. Note que
\frac{j}{(j+1)!} =\frac{j+1-1}{(j+1)!} =\frac{1}{j!}-\frac{1}{(j+1)!}.
Logo
\sum_{j=1}^{n-1}\frac{j}{(j+1)!} =\sum_{j=1}^{n-1}\Bigl(\frac{1}{j!}-\frac{1}{(j+1)!}\Bigr) =1-\frac{1}{n!}.

Passo 6

Juntando tudo,
x_n = n! + n!\Bigl(1-\frac{1}{n!}\Bigr) = n! + n! - 1 =2\,n! - 1.

Resposta

x_n = 2\,n! - 1.

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