Observe o limite do termo geral e conclua que as séries abaixo são divergentes:
sumn=1^infty ncos n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente observar o limite do termo geral da série sumn=1^infty ncos n e, com isso, concluir se a série é divergente. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Divergência, que é uma ferramenta básica em séries infinitas. Esse teste nos ajuda a verificar rapidamente se uma série não converge, sem precisar somar todos os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Divergência. Esse teste diz que, se o limite do termo geral da série quando n tende ao infinito não é zero, então a série não converge, ou seja, é divergente.
Matematicamente, se limn to infty an neq 0, então a série sumn=1^infty an diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. O termo geral da série é:
an = ncos n
Vamos calcular o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty ncos n

Passo 4

Para calcular esse limite, precisamos analisar o comportamento de n e de cos n separadamente:
  • n : Quando n cresce sem limites, ele tende ao infinito.
  • cos n : A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de n .
Isso significa que, conforme n aumenta, cos n continua variando entre -1 e 1 sem se aproximar de um valor específico.

Passo 5

Então, o que acontece com ncos n quando n tende ao infinito?
  • Como n está no numerador e cresce sem limites,
  • E cos n está no denominador e oscila entre -1 e 1,
o valor de ncos n vai oscilar entre valores muito grandes e muito pequenos (positivos e negativos), mas sem se estabilizar ou tender a zero.
Isso significa que:
limn to infty ncos n
não existe, pois a expressão não se aproxima de nenhum número específico.

Passo 6

Como vimos, o limite do termo geral an não tende a zero. Na verdade, ele não existe porque a expressão oscila sem se aproximar de um valor fixo.
De acordo com o Teste da Divergência, se limn to infty an neq 0, então a série sumn=1^infty an não converge.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty ncos n é divergente.

Exercícios relacionados