Observe o limite do termo geral e conclua que as séries abaixo são divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente observar o limite do termo geral da série
e, com isso, concluir se a série é divergente. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Divergência, que é uma ferramenta básica em séries infinitas. Esse teste nos ajuda a verificar rapidamente se uma série não converge, sem precisar somar todos os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Divergência. Esse teste diz que, se o limite do termo geral da série quando
tende ao infinito não é zero, então a série não converge, ou seja, é divergente.
Matematicamente, se
, então a série
diverge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. O termo geral da série é:
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Passo 4
Para calcular esse limite, precisamos analisar o comportamento de
e de
separadamente:
-
: Quando cresce sem limites, ele tende ao infinito. -
: A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de .
Isso significa que, conforme
aumenta,
continua variando entre -1 e 1 sem se aproximar de um valor específico.
Passo 5
Então, o que acontece com
quando
tende ao infinito?
- Como
está no numerador e cresce sem limites, - E
está no denominador e oscila entre -1 e 1,
o valor de
vai oscilar entre valores muito grandes e muito pequenos (positivos e negativos), mas sem se estabilizar ou tender a zero.
Isso significa que:
não existe, pois a expressão não se aproxima de nenhum número específico.
Passo 6
Como vimos, o limite do termo geral
não tende a zero. Na verdade, ele não existe porque a expressão oscila sem se aproximar de um valor fixo.
De acordo com o Teste da Divergência, se
, então a série
não converge.
Resposta
Portanto, a série
é divergente.