Num relógio digital, que marca de 0:00 até 23:59, quantas vezes por dia o mostrador apresenta todos os algarismos iguais?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 7
E) 9
A) 10
B) 8
C) 6
D) 7
E) 9
Passo 1
O enunciado pede para contar quantas vezes, num dia (relógio de
até
), o mostrador apresenta todos os algarismos iguais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Horas variam de
até . - Minutos variam de
até . - O formato usado no enunciado é como
(horas menores que aparecem sem zero à esquerda), então há dois tipos de representação no mostrador: horas com um algarismo ( , ) e horas com dois algarismos ( , ).
A pergunta é: em quantos horários diferentes, dentro desse intervalo, todos os algarismos mostrados são iguais?
Passo 2
Entendendo exatamente o que significa “todos os algarismos iguais”: todos os dígitos que aparecem no visor (ignorando os dois-pontos) devem ser o mesmo número. Exemplos do tipo que seriam válidos:
(aparecem só algarismos
),
,
. Exemplos inválidos:
(minuto
não existe) ou
(há
e
, não todos iguais). Vamos tratar separadamente os dois formatos possíveis no visor, porque o número de algarismos exibidos difere.
Passo 3
Caso 1 — hora com um algarismo: formato
com
.
Para todos os algarismos serem iguais, os minutos têm de ser formados por dois dígitos iguais e iguais ao próprio
. Ou seja,
(por exemplo, para
o único minuto possível seria
). Os minutos possíveis com dois dígitos iguais e válidos são:
. Portanto isso só funciona quando
é
ou
. Para
o minuto
seria
, que são inválidos (maiores que
).
Logo, os horários válidos neste caso são:
Para todos os algarismos serem iguais, os minutos
Logo, os horários válidos neste caso são:
ou seja, exatamente
horários (um para cada
em
).
Passo 4
Caso 2 — hora com dois algarismos: formato
com
.
Agora temos quatro dígitos no visor: . Para todos serem iguais, é preciso que
para algum dígito
. Isso significa que a hora
deve ser um número de dois dígitos formados pelo mesmo algarismo: só podem ser
e
no intervalo
a
. Verificamos os minutos correspondentes: para
precisamos de
(minuto
é válido) e para
precisamos de
(minuto
é válido). Não há outras horas com ambos dígitos iguais entre
e
.
Portanto, neste caso existem exatamente horários válidos:
Agora temos quatro dígitos no visor:
Portanto, neste caso existem exatamente
Passo 5
Somando os dois casos:
horários do caso de hora com um algarismo +
horários do caso de hora com dois algarismos. Isso dá um total de
ocorrências por dia.
Passo 6
Comentário final rapidinho para consolidar: a razão para não existirem outros casos é só a limitação dos minutos (
a
) e o fato de que, no formato usado no enunciado, horas menores que
aparecem com um só dígito. Se o relógio mostrasse sempre dois dígitos nas horas (ex.:
), ainda assim os horários com todos os dígitos iguais seriam os mesmos contados aqui (seria só
em vez de
para o zero), então o total não mudaria.
Resposta
B) 8