Num relógio digital, que marca de 0:00 até 23:59, quantas vezes por dia o mostrador apresenta todos os algarismos iguais?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 7
E) 9

Passo 1

O enunciado pede para contar quantas vezes, num dia (relógio de 0{:}00 até 23{:}59), o mostrador apresenta todos os algarismos iguais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Horas variam de 0 até 23.
  • Minutos variam de 00 até 59.
  • O formato usado no enunciado é como 0{:}00 (horas menores que 10 aparecem sem zero à esquerda), então há dois tipos de representação no mostrador: horas com um algarismo ( h{:}mm, h=0,\dots,9) e horas com dois algarismos ( HH{:}MM, HH=10,\dots,23).
    A pergunta é: em quantos horários diferentes, dentro desse intervalo, todos os algarismos mostrados são iguais?

Passo 2

Entendendo exatamente o que significa “todos os algarismos iguais”: todos os dígitos que aparecem no visor (ignorando os dois-pontos) devem ser o mesmo número. Exemplos do tipo que seriam válidos: 1{:}11 (aparecem só algarismos 1), 11{:}11, 0{:}00. Exemplos inválidos: 6{:}66 (minuto 66 não existe) ou 12{:}12 (há 1 e 2, não todos iguais). Vamos tratar separadamente os dois formatos possíveis no visor, porque o número de algarismos exibidos difere.

Passo 3

Caso 1 — hora com um algarismo: formato h{:}mm com h=0,1,\dots,9.
Para todos os algarismos serem iguais, os minutos mm têm de ser formados por dois dígitos iguais e iguais ao próprio h. Ou seja, mm = hh (por exemplo, para h=3 o único minuto possível seria 33). Os minutos possíveis com dois dígitos iguais e válidos são: 00,11,22,33,44,55. Portanto isso só funciona quando h é 0,1,2,3,4 ou 5. Para h=6,7,8,9 o minuto hh seria 66,77,88,99, que são inválidos (maiores que 59).
Logo, os horários válidos neste caso são:
0{:}00,\;1{:}11,\;2{:}22,\;3{:}33,\;4{:}44,\;5{:}55,
ou seja, exatamente 6 horários (um para cada h em 0,1,2,3,4,5).

Passo 4

Caso 2 — hora com dois algarismos: formato HH{:}MM com HH=10,11,\dots,23.
Agora temos quatro dígitos no visor: H_1,H_2,M_1,M_2. Para todos serem iguais, é preciso que H_1=H_2=M_1=M_2=x para algum dígito x. Isso significa que a hora HH deve ser um número de dois dígitos formados pelo mesmo algarismo: só podem ser 11 e 22 no intervalo 10 a 23. Verificamos os minutos correspondentes: para 11 precisamos de 11{:}11 (minuto 11 é válido) e para 22 precisamos de 22{:}22 (minuto 22 é válido). Não há outras horas com ambos dígitos iguais entre 10 e 23.
Portanto, neste caso existem exatamente 2 horários válidos:
11{:}11,\;22{:}22.

Passo 5

Somando os dois casos: 6 horários do caso de hora com um algarismo + 2 horários do caso de hora com dois algarismos. Isso dá um total de
6 + 2 = 8
ocorrências por dia.

Passo 6

Comentário final rapidinho para consolidar: a razão para não existirem outros casos é só a limitação dos minutos ( 00 a 59) e o fato de que, no formato usado no enunciado, horas menores que 10 aparecem com um só dígito. Se o relógio mostrasse sempre dois dígitos nas horas (ex.: 00{:}00), ainda assim os horários com todos os dígitos iguais seriam os mesmos contados aqui (seria só 00{:}00 em vez de 0{:}00 para o zero), então o total não mudaria.

Resposta

B) 8

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