Obtenha uma aproximação da probabilidade de que no máximo 40 em 225 pedidos de empréstimo recebidos por um banco sejam recusados, sabendo que a probabilidade de recusa é 0,20 .

Passo 1

Então, a questão é sobre encontrar a probabilidade de que no máximo 40 dos 225 pedidos de empréstimo de um banco sejam recusados. A gente vai usar conceitos de Probabilidade Binomial e, como o número de tentativas é grande, vamos aproximar com a Distribuição Normal. Precisamos lembrar das fórmulas para média, desvio padrão e como aplicar a normal para aproximar a binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. Aqui, temos:
  • Número de tentativas (n) = 225
  • Probabilidade de sucesso (recusa) § = 0,20

Passo 3

Agora, vamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
mu = n times p = 225 times 0,20 = 45
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz225 times 0,20 times 0,80 = raiz36 = 6

Passo 4

Como n é grande, podemos usar a aproximação normal. Queremos encontrar a probabilidade de X ≤ 40. Para isso, usamos a fórmula de padronização:
Z = X - musigma
Mas antes, aplicamos a correção de continuidade porque estamos aproximando uma variável discreta (binomial) por uma contínua (normal). Então, consideramos X ≤ 40,5.

Passo 5

Calculando o valor de Z para X = 40,5:
Z = 40,5 - 456 = -4,56 = -0,75

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z ser menor ou igual a -0,75. Consultando uma tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos:
P(Z <= -0,75) approx 0,2266

Resposta

A probabilidade aproximada de que no máximo 40 dos 225 pedidos sejam recusados é de 22,66%.

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