Obtenha uma base e a dimensão do subespaço soma F1+F2, onde X1=(0,0,1,0,-1,0),(1,2,1,0,-1,3),(-1,0,-1,0,0,-1),(1,2,-1,0,1,1), nos casos abaixo:
X2=(1,0,1,1,2,1),(0,2,1,0,-2,2),

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço soma F1+F2, onde F1=span(X1) e F2=span(X2). O conteúdo usado será soma de subespaços vetoriais, geração por conjuntos e eliminação de Gauss para obter uma base e a dimensão do espaço gerado pelos vetores de X1cup X2.

Passo 2

Vamos juntar todos os vetores de X1 e X2 como linhas de uma matriz M em R^6 e aplicar eliminação de Gauss para achar uma base de F1+F2. Inicialmente,
M= 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 3 -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 & 0 & -2 & 2
Permutamos R1rightarrow R2 para ter pivô em M11 e zeramos a coluna 1 nas outras linhas, obtendo
M1= 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & -2 0 & -2 & 0 & 1 & 3 & -2 0 & 2 & 1 & 0 & -2 & 2
Em seguida, permutamos R2rightarrow R3 para pivô em M22 e eliminamos a coluna 2 nas outras linhas, chegando a
M2= 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
Por fim, usamos pivôs em colunas 3, 4 e 6, normalizando e eliminando para obter a forma reduzida
rref(M)= 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Da forma reduzida vemos que há 5 linhas não nulas, logo dim(F1+F2)=5. Uma base é dada pelas 5 linhas não nulas acima, pois elas são independentes e geram F1+F2.

Resposta

Uma base de F1+F2 é
(1,0,0,0,1,0),;(0,2,0,0,-1,0),;(0,0,1,0,-1,0),;(0,0,0,1,2,0),;(0,0,0,0,0,1)
e a dimensão é 5.

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