Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto X :
X=(1,2,1),(0,-1,0),(2,2,2)

Passo 1

O enunciado pede um sistema de equações lineares homogêneo em $\mathbb{R}^3$ cujo espaço de soluções seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores $1,2,1$,$0,-1,0$ e$2,2,2$. O conteúdo aqui é núcleo de matrizes (ou espaço solução de sistemas homogêneos) e vetores normais a planos.

Passo 2

Para um sistema homogêneo $,A,x=0$, seu espaço de soluções é o núcleo de $A$. Como os três vetores geradores estão em $,\text{Ker}(A)$, basta achar um vetor normal ao plano que eles geram e usá-lo como linha de $A$.

Passo 3

Primeiro vemos que $X$ tem dimensão 2, pois há uma relação não trivial entre $v_1=(1,2,1), v_2=(0,-1,0), v_3=(2,2,2)$. Procuramos $a,b,c$ tais que $a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0$:
X Das coordenadas x e z vem $,a + 2c=0$ e o produto escalar com $,v_2$ dá $ -b=0$, logo $b=0$ e $a=-2c$. Com isso a única relação independente é $(a,b,c)=(-2,0,1)$, mas isso serve só para achar o vetor normal.

Passo 4

Em vez de usar direto essa combinação, resolvemos o sistema para o vetor normal $n=(n_1,n_2,n_3)$ ao plano:
$$n\cdot v_1 = n_1 +2n_2 + n_3 = 0,\
n\cdot v_2 = -n_2 = 0.$$ Da segunda equação $n_2=0$ e da primeira vem $n_1 + n_3=0$, então podemos escolher $n = (-1,0,1)$.

Passo 5

Logo o sistema homogêneo com esse normal é
-1,x + 0,y + 1,z = 0, que simplifica para
x - z = 0

Resposta

x - z = 0

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