Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto
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Passo 1
O enunciado pede um sistema de equações lineares homogêneo em $\mathbb{R}^3$ cujo espaço de soluções seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores $1,2,1$,$0,-1,0$ e$2,2,2$. O conteúdo aqui é núcleo de matrizes (ou espaço solução de sistemas homogêneos) e vetores normais a planos.
Passo 2
Para um sistema homogêneo $,A,x=0$, seu espaço de soluções é o núcleo de $A$. Como os três vetores geradores estão em $,\text{Ker}(A)$, basta achar um vetor normal ao plano que eles geram e usá-lo como linha de $A$.
Passo 3
Primeiro vemos que $X$ tem dimensão 2, pois há uma relação não trivial entre $v_1=(1,2,1), v_2=(0,-1,0), v_3=(2,2,2)$. Procuramos $a,b,c$ tais que $a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0$:
Passo 4
Em vez de usar direto essa combinação, resolvemos o sistema para o vetor normal $n=(n_1,n_2,n_3)$ ao plano:
$$n\cdot v_1 = n_1 +2n_2 + n_3 = 0,\
n\cdot v_2 = -n_2 = 0.$$ Da segunda equação $n_2=0$ e da primeira vem $n_1 + n_3=0$, então podemos escolher $n = (-1,0,1)$.
Passo 5
Logo o sistema homogêneo com esse normal é