Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto :
Passo 1
O enunciado pede um sistema linear homogêneo em
5 variáveis cujo espaço de soluções seja exatamente o subespaço gerado por . O conteúdo principal é teoria de espaços vetoriais: a solução de um sistema é o núcleo de , que equivale ao complemento ortogonal das linhas de . Para resolver, vamos achar todas as equações lineares que anulem ambos os vetores de .
Passo 2
Para cada equação geral
queremos que o vetor de coeficientes seja ortogonal a cada gerador de . Isso gera o sistema em :
Desenvolvendo os produtos:
Passo 3
Resolvendo para : deixe livres e expresse e :
Logo o espaço das soluções tem dimensão 3 (parâmetros ).
Passo 4
Para obter um sistema com exatamente 3 equações independentes, escolhemos uma base para esse complemento ortogonal. Por exemplo, atribuímos:
dá ,
dá ,
dá .
Cada vetor vira a linha de .
Passo 5
As três equações correspondentes são:
Multiplicando as duas primeiras por -1 para ficar mais bonitinho, obtemos o sistema final abaixo.
Resposta
O sistema cujas soluções são exatamente o span de X é: