Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto X :
X=(1,1,0,1,-1),(0,1,1,2,0)

Passo 1

O enunciado pede um sistema linear homogêneo em
5 variáveis cujo espaço de soluções seja exatamente o subespaço gerado por
X=(1,1,0,1,-1),,(0,1,1,2,0). O conteúdo principal é teoria de espaços vetoriais: a solução de um sistema Ax=0 é o núcleo de A, que equivale ao complemento ortogonal das linhas de A. Para resolver, vamos achar todas as equações lineares que anulem ambos os vetores de X.

Passo 2

Para cada equação geral
a x1 + b x2 + c x3 + d x4 + e x5 = 0
queremos que o vetor de coeficientes (a,b,c,d,e) seja ortogonal a cada gerador de X. Isso gera o sistema em a,b,c,d,e:
(a,b,c,d,e)cdot(1,1,0,1,-1)=0, (a,b,c,d,e)cdot(0,1,1,2,0)=0
Desenvolvendo os produtos:
a + b + d - e = 0, b + c + 2d = 0

Passo 3

Resolvendo para a,b,c,d,e: deixe b, d, e livres e expresse
a e c:
a = -b - d + e, c = -b - 2d
Logo o espaço das soluções tem dimensão 3 (parâmetros b,d,e).

Passo 4

Para obter um sistema com exatamente 3 equações independentes, escolhemos uma base para esse complemento ortogonal. Por exemplo, atribuímos:
  • b=1, d=0, e=0 (-1,1,-1,0,0),
  • b=0, d=1, e=0 (-1,0,-2,1,0),
  • b=0, d=0, e=1 (1,0,0,0,1).
    Cada vetor vira a linha de A.

Passo 5

As três equações correspondentes são:
- x1 + x2 - x3 = 0, - x1 - 2x3 + x4 = 0, x1 + x5 = 0
Multiplicando as duas primeiras por -1 para ficar mais bonitinho, obtemos o sistema final abaixo.

Resposta

O sistema cujas soluções são exatamente o span de X é:
x1 - x2 + x3 = 0, x1 + 2x3 - x4 = 0, x1 + x5 = 0

Exercícios relacionados