Obtenha uma base e a dimensão do subespaço soma
, onde
, nos casos abaixo:
Passo 1
A questão pede a base e a dimensão do subespaço soma F₁+F₂, onde F₁=span(X₁) e F₂=span(X₂). O conteúdo é soma de subespaços em espaços vetoriais, e vamos usar a fórmula de dimensão
além de identificar bases de F₁, F₂ e sua interseção.
Passo 2
Primeiro, vemos X₁={(1,2,0),(1,1,1)}. Como não há combinação escalar não trivial entre esses dois vetores, eles são LI. Logo uma base de F₁ é
e
.
Passo 3
Do mesmo modo, X₂={(0,1,-1),(0,-1,-2)} é LI, pois não existe escalar λ tal que (0,-1,-2)=λ(0,1,-1). Assim uma base de F₂ é
e
.
Passo 4
Para achar F₁∩F₂, notamos que (0,1,-1)\in X₂ pode ser escrito como combinação de X₁: de fato
logo
. Já (0,-1,-2) não pertence a F₁ (não dá para resolver (0,-1,-2)=α(1,2,0)+β(1,1,1)). Portanto
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de dimensão:
ou seja, a soma é um subespaço de dimensão 3.
Passo 6
Para montar uma base de F₁+F₂, basta pegar as duas vetores de X₁ e acrescentar o vetor de X₂ que não está em F₁, por exemplo (0,-1,-2). Assim uma base é
pois são 3 vetores LI que geram F₁+F₂.
Resposta
Uma base de F₁+F₂ é
e
.