Obtenha uma base e a dimensão do subespaço soma F1+F2, onde X1=(1,2,0),(1,1,1), X2=(0,1,-1),(0,-1,-2), nos casos abaixo:

Passo 1

A questão pede a base e a dimensão do subespaço soma F₁+F₂, onde F₁=span(X₁) e F₂=span(X₂). O conteúdo é soma de subespaços em espaços vetoriais, e vamos usar a fórmula de dimensão
dim(F₁+F₂)=dim F₁+dim F₂-dim(F₁cap F₂)
além de identificar bases de F₁, F₂ e sua interseção.

Passo 2

Primeiro, vemos X₁={(1,2,0),(1,1,1)}. Como não há combinação escalar não trivial entre esses dois vetores, eles são LI. Logo uma base de F₁ é
(1,2,0),,(1,1,1)
e dim F₁=2.

Passo 3

Do mesmo modo, X₂={(0,1,-1),(0,-1,-2)} é LI, pois não existe escalar λ tal que (0,-1,-2)=λ(0,1,-1). Assim uma base de F₂ é
(0,1,-1),,(0,-1,-2)
e dim F₂=2.

Passo 4

Para achar F₁∩F₂, notamos que (0,1,-1)\in X₂ pode ser escrito como combinação de X₁: de fato
(0,1,-1)=1,(1,2,0)-1,(1,1,1)
logo (0,1,-1)in F₁. Já (0,-1,-2) não pertence a F₁ (não dá para resolver (0,-1,-2)=α(1,2,0)+β(1,1,1)). Portanto
e F₁cap F₂=span(0,1,-1) .

Passo 5

Aplicando a fórmula de dimensão:
dim(F₁+F₂)=2+2-1=3
ou seja, a soma é um subespaço de dimensão 3.

Passo 6

Para montar uma base de F₁+F₂, basta pegar as duas vetores de X₁ e acrescentar o vetor de X₂ que não está em F₁, por exemplo (0,-1,-2). Assim uma base é
(1,2,0),,(1,1,1),,(0,-1,-2)
pois são 3 vetores LI que geram F₁+F₂.

Resposta

Uma base de F₁+F₂ é (1,2,0),,(1,1,1),,(0,-1,-2) e dim(F₁+F₂)=3.

Exercícios relacionados