Obtenha uma base e a dimensão do subespaço soma
, onde
, nos casos abaixo:
Passo 1
Estamos com dois subespaços de
:
e
. A questão pede uma base e a dimensão de
. Para isso vamos precisar achar primeiro bases e dimensões de
e
, depois a interseção e enfim usar a fórmula da dimensão da soma.
Passo 2
Os vetores de
são linearly independentes (nenhum é múltiplo do outro). Logo
- uma base de
é - e
.
Passo 3
No conjunto
há quatro vetores que também se mostram linearly independentes (pode-se verificar por eliminação de Gauss). Assim
- uma base de
é - e
.
Passo 4
Para achar
procuramos
tais que
Passo 5
Resolvendo o sistema correspondente, obtemos que a interseção é umidimensional, gerada por
Passo 6
Pelo teorema da dimensão da soma de subespaços:
Passo 7
Para montar uma base de
podemos, por exemplo, pegar os quatro vetores da base de
e adicionar um vetor de
que não esteja em
, como
. Assim temos cinco vetores independentes gerando
.
Resposta
Uma base de
é
$$
{(1,2,1,0,0),;(1,0,1,0,1),;(1,2,3,4,1),;(0,0,0,0,1),😭-1,0,-2,0,1)}\n$$
e .
e