Obtenha uma base e a dimensão do subespaço soma F1+F2, onde X1=(-1,0,0,1,1),(1,2,1,0,0), X2=(1,0,1,0,1),(1,2,3,4,1),(0,0,0,0,1),(-1,0,-2,0,1), nos casos abaixo:

Passo 1

Estamos com dois subespaços de R^5: F1=span,X1 e F2=span,X2. A questão pede uma base e a dimensão de F1+F2. Para isso vamos precisar achar primeiro bases e dimensões de F1 e F2, depois a interseção e enfim usar a fórmula da dimensão da soma.

Passo 2

Os vetores de X1=(-1,0,0,1,1),,(1,2,1,0,0) são linearly independentes (nenhum é múltiplo do outro). Logo
  • uma base de F1 é (-1,0,0,1,1),,(1,2,1,0,0)
  • e dim F1=2.

Passo 3

No conjunto X2=(1,0,1,0,1),,(1,2,3,4,1),,(0,0,0,0,1),,(-1,0,-2,0,1) há quatro vetores que também se mostram linearly independentes (pode-se verificar por eliminação de Gauss). Assim
  • uma base de F2 é (1,0,1,0,1),,(1,2,3,4,1),,(0,0,0,0,1),,(-1,0,-2,0,1)
  • e dim F2=4.

Passo 4

Para achar F1cap F2 procuramos a,b tais que
a(-1,0,0,1,1)+b(1,2,1,0,0)in F2

Passo 5

Resolvendo o sistema correspondente, obtemos que a interseção é umidimensional, gerada por
(-3,2,1,4,4)

Passo 6

Pelo teorema da dimensão da soma de subespaços:
dim(F1+F2)=dim F1+dim F2-dim(F1cap F2)=2+4-1=5

Passo 7

Para montar uma base de F1+F2 podemos, por exemplo, pegar os quatro vetores da base de F2 e adicionar um vetor de F1 que não esteja em F2, como (1,2,1,0,0). Assim temos cinco vetores independentes gerando F1+F2.

Resposta

Uma base de F1+F2 é
$$
{(1,2,1,0,0),;(1,0,1,0,1),;(1,2,3,4,1),;(0,0,0,0,1),😭-1,0,-2,0,1)}\n$$
e (1,2,1,0,0),;(1,0,1,0,1),;(1,2,3,4,1),;(0,0,0,0,1),;(-1,0,-2,0,1)n.

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