Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear definida por T(x, y, z)=(y+z, 2 y+z, y+2 z).
a) Calcule o polinômio característico de T.
b) Calcule os autovalores e os subespaços próprios de T .
c) Determine uma base de \mathbb{R}^{3} constituída por autovetores de T. Qual é a representação matricial de T nesta base?
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
T(x,y,z) = (\,y+z,\;2y+z,\;y+2z\,)
em \mathbb{R}^3. Vamos primeiro escrevê-la como matriz em relação à base canônica, depois calcular o polinômio característico, encontrar autovalores e autovetores e, por fim, montar uma base de autovetores e a matriz de T nessa base.
Passo 2
Para achar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, aplicamos T a cada vetor: T(e_1)=T(1,0,0)=(0,0,0), T(e_2)=T(0,1,0)=(1,2,1), T(e_3)=T(0,0,1)=(1,1,2).
Logo a matriz é