Verifique se a função (5.43), x(t)=t e^-beta t, é de fato uma segunda solução da equação do movimento (5.28) para uma oscilador criticamente amortecido (beta=omega0).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente checar se
x(t)=t,e^-beta t
é mesmo uma solução da equação do movimento de um oscilador criticamente amortecido, ou seja
x'' + 2beta,x' + omega0^2,x = 0
quando .
Conteúdo envolvido: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e caso de amortecimento crítico (raiz dupla). A gente vai precisar derivar duas vezes e substituir na equação.

Passo 2

Primeiro, escrevendo a equação do movimento para amortecimento crítico:
x''(t) + 2beta,x'(t) + beta^2,x(t) = 0,
pois .
Nosso objetivo é pegar , calcular e , e ver se a soma dá zero.

Passo 3

Calculando a primeira derivada:
x(t)=t,e^-beta t
pela regra do produto,
x'(t) =ddt(t),e^-beta t+t,ddt(e^-beta t) =1cdot e^-beta t+tcdot(-beta)e^-beta t =e^-beta t(1-beta t)

Passo 4

Agora a segunda derivada:
x'(t)=e^-beta t(1-beta t),
de novo produto,
x''(t) =ddt(e^-beta t),(1-beta t) +e^-beta t,ddt(1-beta t) =-beta e^-beta t(1-beta t)+e^-beta t(-beta) =e^-beta t(beta^2 t-2beta)

Passo 5

Substituindo em
x'' + 2beta,x' + beta^2,x,
temos
x''+2beta x'+beta^2 x =e^-beta t(beta^2 t-2beta) +2beta,e^-beta t(1-beta t) +beta^2,t,e^-beta t
Colocando e^-beta tl[beta^2 t-2beta+2beta-2beta^2 t+beta^2 tr] =e^-beta t(0) =0 em evidência:
Repara que e .

Passo 6

Como essa soma dá zero para todo x(t)=t,e^-beta t, concluímos que de fato
satisfaz a equação do movimento no caso criticamente amortecido ( ).

Resposta

Sim, é a segunda solução independente da EDO do oscilador criticamente amortecido.

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