Verifique se a função (5.43),
, é de fato uma segunda solução da equação do movimento (5.28) para uma oscilador criticamente amortecido
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente checar se
é mesmo uma solução da equação do movimento de um oscilador criticamente amortecido, ou seja
quando
.
Conteúdo envolvido: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e caso de amortecimento crítico (raiz dupla). A gente vai precisar derivar duas vezes e substituir na equação.
Conteúdo envolvido: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e caso de amortecimento crítico (raiz dupla). A gente vai precisar derivar
Passo 2
Primeiro, escrevendo a equação do movimento para amortecimento crítico:
pois
.
Nosso objetivo é pegar , calcular
e
, e ver se a soma dá zero.
Nosso objetivo é pegar
Passo 3
Calculando a primeira derivada:
pela regra do produto,
Passo 4
Agora a segunda derivada:
de novo produto,
Passo 5
Substituindo em
temos
Colocando
em evidência:
Repara que
e
.
Passo 6
Como essa soma dá zero para todo
, concluímos que de fato
satisfaz a equação do movimento no caso criticamente amortecido (
).
Resposta
Sim,
é a segunda solução independente da EDO do oscilador criticamente amortecido.