Em que ponto da curva gamma(t)=(t^3, 3 t, t^4) o vetor tangente é perpendicular ao plano 6 x+6 y-8 z=1 ?

Passo 1

O enunciado pede em que ponto da curva
gamma(t)=(t^3,3t,t^4)
o vetor tangente é perpendicular ao plano
6x+6y-8z=1
Em geometria vetorial, um vetor é perpendicular a um plano se ele for paralelo ao vetor normal do plano. Para resolver, vamos calcular a derivada de gamma (o vetor tangente) e impor que ela seja múltiplo do normal do plano.

Passo 2

Calcular o vetor tangente gamma'(t).
gamma'(t)=ddtl(t^3,3t,t^4r) =(3t^2,;3,;4t^3)

Passo 3

Identificar o vetor normal ao plano.
O plano 6x+6y-8z=1 tem vetor normal
n=(6,6,-8)
Impor que gamma'(t) seja paralelo a n, ou seja, exista lambda tal que
gamma'(t)=lambda,n
Isso gera o sistema
(3t^2,,3,,4t^3) =lambda,(6,6,-8)

Passo 4

Resolver o sistema para t e lambda. Das componentes:
3t^2=6lambda, 3=6lambda, 4t^3=-8lambda
Da segunda equação vem lambda=tfrac12. Substituindo na primeira:
3t^2=6cdottfrac12implies t^2=1implies t=pm1
Na terceira:
4t^3=-8cdottfrac12=-4implies t^3=-1implies t=-1
Logo, o único valor que satisfaz todas as equações é t=-1.

Resposta

O vetor tangente é perpendicular ao plano no ponto
gamma(-1)=(-1,,-3,,1)

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