Obtenha F(s) ou f(t), conforme indicado.
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2 s+5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{s^{2}+2\,s+5}
ou seja, encontrar f(t) tal que \mathscr{L}\{f(t)\}=\frac{1}{s^{2}+2s+5}. Vamos usar a técnica de completar o quadrado e emparelhar com fórmulas conhecidas de transformadas de seno e cosseno amortecidos.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador:
s^{2}+2s+5 = (s^{2}+2s+1)+4 = (s+1)^{2}+4.

Passo 3

Reconhecemos que a forma
\frac{1}{(s+1)^{2}+2^{2}}
se relaciona com a transformada de
\displaystyle e^{-t}\sin(2t), pois sabemos que
\mathscr{L}\{e^{-t}\sin(2t)\}(s) =\frac{2}{(s+1)^{2}+2^{2}}.

Passo 4

Para obter apenas 1 no numerador, fazemos
\frac{1}{(s+1)^{2}+4} =\frac{1}{2}\,\frac{2}{(s+1)^{2}+2^{2}}
e, portanto, pela linearidade da transformada inversa,
f(t) =\frac{1}{2}\,e^{-t}\sin(2t).

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t)

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