Obtenha F(s) ou f(t), conforme indicado.
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+4 s+5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{s}{s^{2}+4s+5},
ou seja, queremos f(t)=\mathscr{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{s}{s^{2}+4s+5}\bigr\}. Para isso vamos usar as propriedades de deslocamento na transformada de Laplace e as transformadas básicas de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador:
s^{2}+4s+5 = (s+2)^{2} + 1.

Passo 3

Reescrevemos o numerador s como (s+2)-2, de modo a decompor a função em duas parcelas:
\frac{s}{s^{2}+4s+5} = \frac{(s+2)-2}{(s+2)^{2}+1} = \frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} \;-\; \frac{2}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 4

Sabemos que, para a=2 e \omega=1,
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}\Bigr\}(t) = e^{-2t}\cos t,
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+2)^{2}+1}\Bigr\}(t) = e^{-2t}\sin t.
Multiplicando por 2 na segunda parcela, temos
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{2}{(s+2)^{2}+1}\Bigr\}(t) = 2\,e^{-2t}\sin t.

Resposta

f(t) = e^{-2t}\cos t \;-\; 2\,e^{-2t}\sin t,\quad t\ge0.

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