Sejam
e
séries de termos positivos, esta última convergente. Suponhamos que exista
tal que
implica
. Prove que
converge.
Passo 1
O enunciado considera duas séries de termos positivos
e
,
sabendo que converge. Além disso, existe
tal que, para todo
,
sabendo que
O objetivo é mostrar que
também converge, usando comparação de termos e o fato de
convergir.
Passo 2
Definamos, para
, o quociente
Como os termos são positivos, podemos reescrever a hipótese como
Isso mostra que
é uma sequência monótona decrescente.
Passo 3
Uma sequência monótona decrescente de termos positivos fica limitada superiormente pelo seu primeiro termo. Logo, para todo
,
Passo 4
Como
converge e
é constante, pela comparação direta temos
Os
primeiros termos de
são finitos, então
converge.
Resposta
A série
converge.