Sejam \sum a_{n} e \sum b_{n} séries de termos positivos, esta última convergente. Suponhamos que exista N tal que n>N implica \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}}. Prove que \sum a_{n} converge.

Passo 1

O enunciado considera duas séries de termos positivos
\sum a_{n} e \sum b_{n},
sabendo que \sum b_{n} converge. Além disso, existe N tal que, para todo n>N,
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le \frac{b_{n+1}}{b_{n}}.
O objetivo é mostrar que \sum a_{n} também converge, usando comparação de termos e o fato de \sum b_{n} convergir.

Passo 2

Definamos, para n>N, o quociente
c_{n} \;=\; \frac{a_{n}}{b_{n}}.
Como os termos são positivos, podemos reescrever a hipótese como
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} \le \frac{a_{n}}{b_{n}} \;\;\Longrightarrow\;\; c_{n+1} \le c_{n}.
Isso mostra que \{c_{n}\}_{n>N} é uma sequência monótona decrescente.

Passo 3

Uma sequência monótona decrescente de termos positivos fica limitada superiormente pelo seu primeiro termo. Logo, para todo n>N,
c_{n} \le c_{N} \;\Longrightarrow\; \frac{a_{n}}{b_{n}} \le c_{N} \;\Longrightarrow\; a_{n} \le c_{N}\,b_{n}.

Passo 4

Como \sum b_{n} converge e c_{N} é constante, pela comparação direta temos
\sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n} \le c_{N} \sum_{n=N+1}^{\infty} b_{n} < \infty.
Os N primeiros termos de \sum a_{n} são finitos, então \sum a_{n} converge.

Resposta

A série \sum a_{n} converge.

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