Teste cada uma das séries seguintes, verificando se converge ou não:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2} \cdot a^{n}}{2^{n^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}\,a^{n}}{2^{n^{2}}}
em função do parâmetro a. Vamos usar o Teste da Razão para séries de termos gerais, verificando convergência absoluta.

Passo 2

Seja
u_{n} = \frac{(n!)^{2}\,a^{n}}{2^{n^{2}}}.
Aplicamos o Teste da Razão, examinando
\frac{\lvert u_{n+1}\rvert}{\lvert u_{n}\rvert} =\frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}\,\lvert a\rvert^{\,n+1}\;/\;2^{(n+1)^{2}}} {\;(n!)^{2}\,\lvert a\rvert^{\,n}\;/\;2^{n^{2}}}\,.

Passo 3

Simplificamos o quociente:
  1. \bigl((n+1)!\bigr)^{2}/(n!)^{2}=(n+1)^{2}.
  2. 2^{n^{2}}/2^{(n+1)^{2}}=1/2^{2n+1}.
    Juntando, obtemos
\frac{\lvert u_{n+1}\rvert}{\lvert u_{n}\rvert} =\frac{(n+1)^{2}\,\lvert a\rvert}{2^{2n+1}}.

Passo 4

Calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}\,\lvert a\rvert}{2^{2n+1}} =0,
pois o denominador cresce exponencialmente muito mais rápido que o numerador polinomial.

Passo 5

Como o limite da razão é 0<1 para qualquer valor de a, a série converge absolutamente para todo a\in\mathbb{R}. Logo, ela converge também no sentido usual.

Resposta

A série converge (absolutamente) para todo a\in\mathbb{R}.

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