Obtenha a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede que eu obtenha a derivada
. Informações relevantes que temos a partir do enunciado:
- A função é escrita como potência fracionária:
. - A raiz envolvida é a raiz cúbica (denominador
), portanto a expressão está bem definida para todo (incluindo ). - Preciso determinar a expressão da derivada para
e também analisar se a derivada existe em .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando o porquê): vou reescrever a função como quadrado da raiz cúbica, isto é
Isso é conveniente porque a função fica como composição de duas funções simples: tomar a raiz cúbica
e depois elevar ao quadrado
. Assim posso usar a regra da cadeia e a diferenciação implícita (para obter a derivada de
de forma clara). A vantagem desse caminho é que evita presumir a validade direta da “regra da potência” para expoentes fracionários — eu mostro a derivada de
de forma elementar.
Passo 3
Calcular a derivada de
por diferenciação implícita. Defina
, então
Agora diferência em relação a
. Derivando ambos os lados:
Pelo teorema da diferenciação (regra da cadeia) no lado esquerdo temos
. Assim
Voltando à variável
(lembrando que
), obtemos, para
(pois dividimos por
),
Observação: em
teríamos
e a expressão acima exige divisão por zero, então esse cálculo não prova diferenciabilidade em
.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia (ou regra do produto para
composta com
). A derivada de
em relação a
é
. Pela regra da cadeia:
Passo 5
Substituir
e
na expressão do passo anterior:
Agora simplifico as potências de
. Lembre que
. Portanto
válido para
.
Passo 6
Analisar a derivabilidade em
. Calculo o quociente diferencial:
Para
isso é
, que tende a
quando
. Para
isso é
, que tende a
quando
. Como as duas one-sided limits não coincidem (e divergem para sinais opostos), o limite limite não existe e, portanto,
não é diferenciável em
. Geometricamente isso corresponde a uma “cunha” ou tangente vertical no ponto
.
Passo 7
Conclusão final: a derivada existe para todo
e é dada por
, e não existe em
. Vai dar tudo certo na prova — pratique mais alguns exemplos parecidos como
com
ímpar para consolidar.