Obtenha a derivada de cada função a seguir:
f(x)=x^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{\frac{2}{3}} e pede que eu obtenha a derivada f'(x). Informações relevantes que temos a partir do enunciado:
  • A função é escrita como potência fracionária: \frac{2}{3}.
  • A raiz envolvida é a raiz cúbica (denominador 3), portanto a expressão x^{\frac{1}{3}} está bem definida para todo x\in\mathbb{R} (incluindo x<0).
  • Preciso determinar a expressão da derivada para x\neq 0 e também analisar se a derivada existe em x=0.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando o porquê): vou reescrever a função como quadrado da raiz cúbica, isto é
f(x)=\bigl(x^{\frac{1}{3}}\bigr)^2.
Isso é conveniente porque a função fica como composição de duas funções simples: tomar a raiz cúbica g(x)=x^{\frac{1}{3}} e depois elevar ao quadrado h(u)=u^2. Assim posso usar a regra da cadeia e a diferenciação implícita (para obter a derivada de x^{1/3} de forma clara). A vantagem desse caminho é que evita presumir a validade direta da “regra da potência” para expoentes fracionários — eu mostro a derivada de x^{1/3} de forma elementar.

Passo 3

Calcular a derivada de g(x)=x^{\frac{1}{3}} por diferenciação implícita. Defina y=g(x), então
y=x^{\frac{1}{3}}\quad\Longleftrightarrow\quad y^{3}=x.
Agora diferência em relação a x. Derivando ambos os lados:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=\frac{d}{dx}(x).
Pelo teorema da diferenciação (regra da cadeia) no lado esquerdo temos 3y^{2}\,y' = 1. Assim
y'=\frac{1}{3y^{2}}.
Voltando à variável x (lembrando que y=x^{\frac{1}{3}}), obtemos, para x\neq 0 (pois dividimos por y^{2}),
g'(x)=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}.
Observação: em x=0 teríamos y=0 e a expressão acima exige divisão por zero, então esse cálculo não prova diferenciabilidade em 0.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia (ou regra do produto para h(u)=u^2 composta com u=g(x)). A derivada de h(u)=u^{2} em relação a u é h'(u)=2u. Pela regra da cadeia:
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=2\,g(x)\cdot g'(x).

Passo 5

Substituir g(x)=x^{\frac{1}{3}} e g'(x)=\dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} na expressão do passo anterior:
f'(x)=2\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}.
Agora simplifico as potências de x. Lembre que x^{\frac{1}{3}}/x^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{1}{3}-\frac{2}{3}}=x^{-\frac{1}{3}}. Portanto
f'(x)=\frac{2}{3}\,x^{-\frac{1}{3}},
válido para x\neq 0.

Passo 6

Analisar a derivabilidade em x=0. Calculo o quociente diferencial:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{\frac{2}{3}}-0}{h}=\frac{|h|^{\frac{2}{3}}}{h}.
Para h>0 isso é h^{-\frac{1}{3}}, que tende a +\infty quando h\to 0^{+}. Para h<0 isso é -|h|^{-\frac{1}{3}}, que tende a -\infty quando h\to 0^{-}. Como as duas one-sided limits não coincidem (e divergem para sinais opostos), o limite limite não existe e, portanto, f não é diferenciável em x=0. Geometricamente isso corresponde a uma “cunha” ou tangente vertical no ponto x=0.

Passo 7

Conclusão final: a derivada existe para todo x\neq 0 e é dada por \dfrac{2}{3}x^{-1/3}, e não existe em x=0. Vai dar tudo certo na prova — pratique mais alguns exemplos parecidos como x^{m/n} com n ímpar para consolidar.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}},\quad x\neq 0\n
\displaystyle f'(0)\text{ não existe}ã

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