Obtenha a derivada da função:
g(x)=x^2(9-x^2)^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ g(x) = x^{2}(9 - x{2}){-2} $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com a derivação de funções que envolvem produtos e potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que serão derivadas separadamente usando a Regra do Produto. A função $ g(x) $ é um produto de duas funções:
  • $ u(x) = x^{2} $
  • $ v(x) = (9 - x{2}){-2} $
Segundo a Regra do Produto, a derivada de $ g(x) = u(x) \cdot v(x) $ é:
g(x)

Passo 3

Vamos calcular $ u’(x) $, a derivada de $ u(x) = x^{2} $. A derivada de $ x^{n} $ é $ n x^{n-1} $, então:
u'(x)

Passo 4

Agora, precisamos calcular $ v’(x) $, a derivada de $ v(x) = (9 - x{2}){-2} $. Aqui, usamos a Regra da Cadeia, que é útil quando temos uma função composta. Se temos $ v(x) = [f(x)]^{n} $, então:
v'(x)
No nosso caso, $ f(x) = 9 - x^{2} $ e $ n = -2 $. Então:
v(x) = (9 - x^2)^-2

Passo 5

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos substituir de volta na fórmula da Regra do Produto:
u'(x)
Substituindo:
v'(x)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para deixar mais bonita. Observe que podemos fatorar $ 2x (9 - x{2}){-2} $:
2x (9 - x^2)^-2
Simplificando dentro dos colchetes:
g'(x) = 2x (9 - x^2)^-2 [ 1 + 2x^2 (9 - x^2)^-1 ]
Então:
1 + 2x^29 - x^2 = 9 - x^2 + 2x^29 - x^2 = 9 + x^29 - x^2

Resposta

A derivada da função $ g(x) = x^{2}(9 - x{2}){-2} $ é:
g(x) = x^2(9 - x^2)^-2

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