Obtenha as derivadas parciais de terceira ordem indicadas, para cada função a seguir:
u(r, theta)=e^r theta sen(theta), partial^3 upartial r^2 partial theta e partial^3 upartial r^3

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de terceira ordem da função
u(r,theta)=e^rthetasin(theta)
especificamente
partial^3upartial r^2partial theta e partial^3upartial r^3.
O que vamos usar aqui são as regras de derivação parcial, em especial a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial de u em relação a theta:
partial upartial theta =partialpartial thetal(e^rthetar)sin(theta) +e^rthetapartialpartial thetal(sin(theta)r)
Pela regra da cadeia partialpartial thetae^rtheta=r,e^rtheta e partialpartial thetasin(theta)=cos(theta). Logo
partial upartial theta =e^rthetal(rsin(theta)+cos(theta)r)

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais em r. Primeiro
partial upartial r =partialpartial rl(e^rthetar)sin(theta) =theta,e^rthetasin(theta)
Aplicando novamente em r, a segunda derivada é
partial^2 upartial r^2 =partialpartial rl(theta,e^rthetasin(theta)r) =theta^2,e^rthetasin(theta)

Passo 4

Para partial^3upartial r^2partial theta diferenciamos partial^2 upartial r^2=theta^2 e^rthetasin(theta) em relação a theta:
partial^3 upartial r^2partial theta =partialpartial thetal(theta^2 e^rthetasin(theta)r) =2theta,e^rthetasin(theta) +theta^2,partialpartial thetal(e^rthetasin(theta)r)
Já sabemos de Passo 2 que partialpartial theta(e^rthetasin(theta)) =e^rtheta(rsin(theta)+cos(theta)). Então
partial^3 upartial r^2partial theta =e^rthetal[2thetasin(theta) +theta^2l(rsin(theta)+cos(theta)r)r]

Passo 5

Por fim, para partial^3upartial r^3 aplicamos mais uma derivada em r na expressão de partial^2 upartial r^2=theta^2 e^rthetasin(theta):
partial^3 upartial r^3 =partialpartial rl(theta^2 e^rthetasin(theta)r) =theta^3,e^rthetasin(theta)

Resposta

partial^3 upartial r^2 partial theta = e^rtheta l[ 2theta sin(theta) + theta^2 l(r sin(theta) + cos(theta)r) r],
partial^3 upartial r^3 = theta^3 , e^rtheta sin(theta)

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