Obtenha as derivadas parciais de terceira ordem indicadas, para cada função a seguir:
g(x, y, z)=cos (4 x+3 y+2 z), gx y z e gz x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais mistas de terceira ordem gxyz e gzxy da função
g(x,y,z)=cos(4x+3y+2z)
O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais sucessivas e aplicação da regra da cadeia em variáveis múltiplas.

Passo 2

Definimos a função interna
u = 4x + 3y + 2z
e calculamos as derivadas em ordem xto yto z:
gx = -sin(u),partial upartial x = -4sin(u),
gxy = partialpartial y(-4sin(u)) = -4cos(u),partial upartial y = -12cos(u),
gxyz = partialpartial z(-12cos(u)) = -12(-sin(u)),partial upartial z = 24sin(u)

Passo 3

Agora calculamos em ordem zto xto y:
gz = -sin(u),partial upartial z = -2sin(u),
gzx = partialpartial x(-2sin(u)) = -2cos(u),partial upartial x = -8cos(u),
gzxy = partialpartial y(-8cos(u)) = -8(-sin(u)),partial upartial y = 24sin(u)

Passo 4

Observamos que sin(u)=sin(4x+3y+2z) e que as duas ordens de derivação produzem o mesmo resultado, conforme o teorema de Clairaut.

Resposta

gxyz = gzxy = 24sin(4x+3y+2z).

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