O triângulo PQR, no plano cartesiano de vértices P = (0,0), Q = (6,0) e R = (3,5), é
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre triângulos no plano cartesiano! A gente tem o triângulo PQR com vértices em P = (0,0), Q = (6,0) e R = (3,5). Nosso objetivo é descobrir qual das opções (a) a (e) descreve melhor esse triângulo. Para isso, vamos precisar usar o teorema de Pitágoras para calcular os lados do triângulo e entender as propriedades dele, como ser equilátero, isósceles, escaleno, retângulo ou obtusângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os comprimentos dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. A fórmula é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos calcular os três lados: PQ, PR e QR.

Passo 3

Calculando o lado PQ, que vai de P = (0,0) até Q = (6,0):
dPQ = raiz(6 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = raiz36 + 0 = raiz36 = 6
Então, PQ = 6 unidades.

Passo 4

Agora, calculando o lado PR, que vai de P = (0,0) até R = (3,5):
dPR = raiz(3 - 0)^2 + (5 - 0)^2 = raiz9 + 25 = raiz34 approx 5,83
Então, PR ≈ 5,83 unidades.

Passo 5

Por último, calculando o lado QR, que vai de Q = (6,0) até R = (3,5):
dQR = raiz(3 - 6)^2 + (5 - 0)^2 = raiz9 + 25 = raiz34 approx 5,83
Então, QR ≈ 5,83 unidades.

Passo 6

Agora que temos os comprimentos dos lados:
  • PQ = 6
  • PR ≈ 5,83
  • QR ≈ 5,83
Observamos que PR e QR são iguais, enquanto PQ é diferente. Isso significa que o triângulo tem dois lados iguais, caracterizando um triângulo isósceles.

Passo 7

Vamos verificar se é também um triângulo retângulo ou obtusângulo. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras. Se o quadrado de um lado for igual à soma dos quadrados dos outros dois, é retângulo. Se for maior, é obtusângulo.
Vamos ver:
  • $ PQ^2 = 6^2 = 36 $
  • $ PR^2 = 34 $
  • $ QR^2 = 34 $
Somando PR² + QR² = 34 + 34 = 68
Como 36 < 68, não é retângulo nem obtusângulo.

Resposta

b) isósceles, mas não equilátero.

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