Obtenha a equaçao da elipse e o seu traço, sendo dados:
Focos \pm(3,0) e a=5.
Cada desenho deve conter, além do traço da curva, o centro, os eixos de simetria, os focos e os vértices.

Passo 1

O enunciado dá os focos em \bigl(\pm3,0\bigr) e a semi-distância maior a=5. Como os focos estão sobre o eixo x, trata-se de uma elipse horizontal centrada em (0,0). Para obter a equação e desenhar o traço precisamos calcular o semi-eixo menor b e depois identificar o centro, eixos, focos e vértices.

Passo 2

Na elipse temos a relação
c^2 = a^2 - b^2,
onde c é a distância do centro a cada foco. Aqui c=3 e a=5, logo
b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16,
portanto b = 4.

Passo 3

Substituindo a e b na forma padrão da elipse horizontal centrada na origem, obtemos
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.

Passo 4

Para o traço da curva e seus elementos do desenho temos:
– Centro em (0,0).
– Eixo maior ao longo de x, do vértice esquerdo ( -5,0 ) ao vértice direito (5,0).
– Eixo menor ao longo de y, dos vértices superior e inferior (0,4) e (0,-4).
– Focos em \bigl(-3,0\bigr) e \bigl(3,0\bigr).
Desenha-se o sistema de eixos x e y, marca-se estes pontos e traça-se a curva suave que passa pelos vértices e “fecha” ao redor dos focos, conforme a equação acima.

Resposta

A equação da elipse é
\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.
O traço consiste na curva definida por essa equação, com centro em (0,0), eixo maior de comprimento 10 sobre o x (vértices em (\pm5,0)), eixo menor de comprimento 8 sobre o y (vértices em (0,\pm4)) e focos em (\pm3,0).

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