Obtenha uma parametrização de uma elipse \mathcal{C} no espaço tal que:
Cestá no plano Oyz , focos no eixo Oz , centro na origem, a=3 e b=2.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização de uma elipse \mathcal{C} no espaço que satisfaça:
  • \mathcal{C} está contida no plano Oyz (logo x=0);
  • seus focos estão no eixo Oz;
  • centro na origem;
  • semi-eixo maior a=3;
  • semi-eixo menor b=2.
Para resolver, vamos usar a forma canônica da elipse centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados, e então inserir a condição x=0.

Passo 2

Em coordenadas (x,y,z), como a elipse está em Oyz, temos x=0.
A equação canônica da elipse com semi-eixo menor ao longo de y e semi-eixo maior ao longo de z é
\frac{y^{2}}{b^{2}} \;+\;\frac{z^{2}}{a^{2}} \;=\;1.
Substituindo a=3 e b=2 obtemos
\frac{y^{2}}{2^{2}} \;+\;\frac{z^{2}}{3^{2}} \;=\;1,
ou seja
\frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} = 1.

Passo 3

Para parametrizar essa elipse usamos funções trigonométricas, de modo que ao variar o parâmetro t de 0 a 2\pi a identidade \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 garanta a equação canônica.
Escolhendo
y = 2\cos t, \qquad z = 3\sin t, \qquad x = 0,
vemos que
\frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} = \frac{(2\cos t)^{2}}{4} + \frac{(3\sin t)^{2}}{9} = \cos^{2}t + \sin^{2}t = 1.

Resposta

A parametrização desejada é
\mathbf{r}(t) \;=\;\bigl(0,\;2\cos t,\;3\sin t\bigr), \quad t\in[0,2\pi].

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