Obtenha uma parametrização de uma elipse
no espaço tal que:
Cestá no plano Oyz , focos no eixo Oz , centro na origem,
e
.
Cestá no plano Oyz , focos no eixo Oz , centro na origem,
Passo 1
O enunciado pede a parametrização de uma elipse
no espaço que satisfaça:
-
está contida no plano (logo ); - seus focos estão no eixo
; - centro na origem;
- semi-eixo maior
; - semi-eixo menor
.
Para resolver, vamos usar a forma canônica da elipse centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados, e então inserir a condição
.
Passo 2
Em coordenadas
, como a elipse está em
, temos
.
A equação canônica da elipse com semi-eixo menor ao longo de e semi-eixo maior ao longo de
é
A equação canônica da elipse com semi-eixo menor ao longo de
Substituindo
e
obtemos
ou seja
Passo 3
Para parametrizar essa elipse usamos funções trigonométricas, de modo que ao variar o parâmetro
de
a
a identidade
garanta a equação canônica.
Escolhendo
vemos que
Resposta
A parametrização desejada é