Obtenha a equaçao da elipse e o seu traço, sendo dados:
Focos \pm(3,0) e passando pelo ponto P=(2,2).
Cada desenho deve conter, além do traço da curva, o centro, os eixos de simetria, os focos e os vértices.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com focos em \pm(3,0) (logo c=3) e pede a equação da elipse que passa pelo ponto P=(2,2). Vamos usar a definição de elipse como o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante 2a, e depois escrever a forma canónica

Passo 2

Pela definição, para qualquer ponto (x,y) da elipse vale
\sqrt{(x-3)^2+y^2} \;+\;\sqrt{(x+3)^2+y^2} \;=\;2a.
Como P=(2,2) pertence à elipse, calculamos
d_1=\sqrt{(2-3)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}, \quad d_2=\sqrt{(2+3)^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29},
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2a=d_1+d_2=\sqrt{5}+\sqrt{29} \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{29}}{2}.

Passo 3

Na forma canónica de elipse com eixo maior no x, temos c^2=a^2-b^2. Então
a^2=\Bigl(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{29}}{2}\Bigr)^2 =\frac{5+29+2\sqrt{145}}{4} =\frac{17+\sqrt{145}}{2},
e como c=3,
b^2=a^2-c^2 =\frac{17+\sqrt{145}}{2}-9 =\frac{17+\sqrt{145}-18}{2} =\frac{\sqrt{145}-1}{2}.

Passo 4

A equação canónica da elipse é
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
Substituindo a^2 e b^2:
\frac{x^2}{\frac{17+\sqrt{145}}{2}} \;+\; \frac{y^2}{\frac{\sqrt{145}-1}{2}} =1,
ou, multiplicando numerador e denominador por 2,
\frac{2x^2}{17+\sqrt{145}} \;+\; \frac{2y^2}{\sqrt{145}-1} =1.

Passo 5

Descrição do traço da curva:
Centro em (0,0).
Eixos de simetria: o eixo x e o eixo y.
Focos em (\pm3,0).
Vértices no eixo maior:
(\pm a,0) \quad\text{com}\quad a=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{29}}{2},
e vértices no eixo menor:
\bigl(0,\pm b\bigr) \quad\text{com}\quad b=\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{2}}.

Resposta

Equação da elipse:
\frac{x^2}{\frac{17+\sqrt{145}}{2}} +\frac{y^2}{\frac{\sqrt{145}-1}{2}} =1.
Traço da elipse: centro em (0,0); eixos de simetria nos eixos coordenados; focos em (\pm3,0); vértices em \bigl(\pm\frac{\sqrt{5}+\sqrt{29}}{2},0\bigr) e em \bigl(0,\pm\sqrt{\tfrac{\sqrt{145}-1}{2}}\bigr).

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