Obtenha uma parametrização de uma elipse \mathcal{C} no espaço tal que:
\mathcal{C} tem focos ( \pm 2,0,5) e vértices (0, \pm 2,5).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização de uma elipse \mathcal{C} no espaço que satisfaz:
  • Focos em (\pm2,0,5).
  • “Vértices” em (0,\pm2,5).
    Aqui o conteúdo é geometria analítica de elipse: vamos usar a definição via eixos maiores e menores, com centro, semieixos a,b e distância focal c.

Passo 2

Como os dois focos têm coordenada z=5 e x variando, a elipse está contida no plano
z=5,
e o centro é o ponto médio entre (2,0,5) e (-2,0,5), ou seja,
(0,0,5).

Passo 3

Os focos estão sobre o eixo x do plano, logo o eixo maior da elipse é paralelo a x. A distância do centro a cada foco é
c = 2.
Os “vértices” dados são (0,\pm2,5), que são extremos do eixo perpendicular (eixo menor), então o semieixo menor vale
b = 2.

Passo 4

Na elipse relaciona-se
a^2 = b^2 + c^2,
portanto
a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}.

Passo 5

Escolhendo parámetro t, a forma padrão no plano z=5 é
\mathbf{r}(t)=\bigl(a\cos t,\;b\sin t,\;5\bigr) \quad\text{com}\quad 0\le t<2\pi.

Resposta

\boxed{\mathbf{r}(t)=\bigl(2\sqrt{2}\cos t,\;2\sin t,\;5\bigr),\quad 0\le t<2\pi.}

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