Obtenha a equaçao da elipse e o seu traço, sendo dados:
Focos \pm(3,0) e retas diretrizes x= \pm 5.
Cada desenho deve conter, além do traço da curva, o centro, os eixos de simetria, os focos e os vértices.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse com focos em \pm(3,0) e diretrizes x=\pm5. O que precisamos usar é a definição de elipse em termos de razão entre distância ao foco e distância à diretriz, ou seja
\frac{\text{distância a um foco}}{\text{distância à diretriz correspondente}} = e,ââà
onde e é o excentricidade. Sabendo que os focos estão a c=3 unidades do centro e que, em elipses, vale
e = \frac{c}{a} \quad\text{e}\quad \text{diretriz em }x=\pm\frac{a}{e},
vamos achar a, e e depois b.

Passo 2

Da posição das diretrizes vem
\frac{a}{e} = 5.
Como também \,e=\frac{c}{a}=\frac{3}{a}, igualamos
\frac{a}{e} = 5 \quad\Longrightarrow\quad e = \frac{a}{5},
e simultaneamente
e = \frac{3}{a}.
Logo,
\frac{a}{5} = \frac{3}{a} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 15 \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt{15}.

Passo 3

Com a=\sqrt{15} e c=3, o excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{5}.
Para achar b usamos a relação b^2 = a^2(1 - e^2). Calculando:
e^2 = \frac{15}{25} = \frac{3}{5},
b^2 = 15\Bigl(1 - \tfrac{3}{5}\Bigr) = 15\cdot\tfrac{2}{5} = 6 \quad\Longrightarrow\quad b = \sqrt{6}.

Passo 4

A equação padrão da elipse centrada em (0,0) com semieixo maior a no eixo x e semieixo menor b no eixo y é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.
Substituindo a^2=15 e b^2=6, obtemos
\frac{x^2}{15} + \frac{y^2}{6} = 1.
Os elementos do desenho são:
– Centro em (0,0).
– Eixos de simetria: os eixos x e y.
– Focos em \bigl(\pm3,0\bigr).
– Vértices principais em \bigl(\pm\sqrt{15},0\bigr).

Passo 5

O traço da curva são as interseções com os eixos coordenados:
– Em y=0: x=\pm\sqrt{15}.
– Em x=0: y=\pm\sqrt{6}.

Resposta

Equação da elipse:
\frac{x^2}{15} + \frac{y^2}{6} = 1.
Traço da elipse:
\bigl(\pm\sqrt{15},0\bigr) e \bigl(0,\pm\sqrt{6}\bigr).

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