Obtenha a equaçao da elipse e o seu traço, sendo dados:
Focos
e retas diretrizes
.
Cada desenho deve conter, além do traço da curva, o centro, os eixos de simetria, os focos e os vértices.
Focos
Cada desenho deve conter, além do traço da curva, o centro, os eixos de simetria, os focos e os vértices.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma elipse com focos em
e diretrizes
. O que precisamos usar é a definição de elipse em termos de razão entre distância ao foco e distância à diretriz, ou seja
onde
é o excentricidade. Sabendo que os focos estão a
unidades do centro e que, em elipses, vale
vamos achar
,
e depois
.
Passo 2
Da posição das diretrizes vem
Como também
, igualamos
e simultaneamente
Logo,
Passo 3
Com
e
, o excentricidade é
Para achar
usamos a relação
. Calculando:
Passo 4
A equação padrão da elipse centrada em
com semieixo maior
no eixo
e semieixo menor
no eixo
é
Substituindo
e
, obtemos
Os elementos do desenho são:
– Centro em .
– Eixos de simetria: os eixos e
.
– Focos em .
– Vértices principais em .
– Centro em
– Eixos de simetria: os eixos
– Focos em
– Vértices principais em
Passo 5
O traço da curva são as interseções com os eixos coordenados:
– Em :
.
– Em :
.
– Em
– Em
Resposta
Equação da elipse:
Traço da elipse:
e
.