Sejam dados dois pontos F=(-3,0) e F^{\prime}=(3,0). Qual a condiçāo sobre um ponto P para que haja uma elipse com focos F e F^{\prime} passando por P ? No caso de existir uma elipse, pode existir outra?

Passo 1

O enunciado dá dois focos
F = (-3,0), \quad F' = (3,0)
e pergunta qual a condição que um ponto P deve satisfazer para existir uma elipse com esses focos que passe por P. O conteúdo aqui é a definição de elipse: dado dois focos, a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante e maior que a distância entre os focos. Vamos usar essa definição para achar a condição sobre P e depois discutir se pode haver mais de uma elipse.

Passo 2

Seja P qualquer ponto do plano. Denotemos
d = PF + PF',
isto é, a soma das distâncias de P a F e a F'. A definição de elipse com focos F e F' é o conjunto dos pontos que satisfazem
PF + PF' = 2a,
onde 2a é a grandeza constante. Para que esse conjunto seja uma elipse não degenerada, é preciso que
2a > \text{distância entre }F\text{ e }F'.â
Como
\text{distância}(F,F') = 6,â
temos a condição necessária
2a > 6.

Passo 3

Para que exista uma elipse passando por P, basta escolher
2a = PF + PF' = d.
Mas também precisamos de 2a>6. Logo, a condição sobre P é
PF + PF' > 6.

Passo 4

Concluímos que:
  • Um ponto P admite uma elipse com focos em (-3,0) e (3,0) que passe por P se, e somente se, PF + PF' > 6.
  • Nessas condições existe exatamente uma elipse que passa por P, pois o valor de 2a fica fixado em 2a = PF + PF'.

Resposta

A condição é
PF + PF' > 6.
Se isso vale, há exatamente uma elipse com focos em (-3,0) e (3,0) que passe por P.

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