Sejam dados dois pontos
e
. Qual a condiçāo sobre um ponto
para que haja uma elipse com focos
e
passando por
? No caso de existir uma elipse, pode existir outra?
Passo 1
O enunciado dá dois focos
e pergunta qual a condição que um ponto
deve satisfazer para existir uma elipse com esses focos que passe por
. O conteúdo aqui é a definição de elipse: dado dois focos, a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante e maior que a distância entre os focos. Vamos usar essa definição para achar a condição sobre
e depois discutir se pode haver mais de uma elipse.
Passo 2
Seja
qualquer ponto do plano. Denotemos
isto é, a soma das distâncias de
a
e a
. A definição de elipse com focos
e
é o conjunto dos pontos que satisfazem
onde
é a grandeza constante. Para que esse conjunto seja uma elipse não degenerada, é preciso que
Como
temos a condição necessária
Passo 3
Para que exista uma elipse passando por
, basta escolher
Mas também precisamos de
. Logo, a condição sobre
é
Passo 4
Concluímos que:
- Um ponto
admite uma elipse com focos em e que passe por se, e somente se, - Nessas condições existe exatamente uma elipse que passa por
, pois o valor de fica fixado em
Resposta
A condição é
Se isso vale, há exatamente uma elipse com focos em
e
que passe por
.