Questão 7:
Sejam as matrizes
A=[ll 1 & 2 3 & 4 ], B=[ll 2 & 0 0 & 3 ]
(a) Calcule det(A) e det(B) e, em seguida, determine det(A cdot B).
(b) Generalize o resultado para duas matrizes quadradas arbitrárias A e B de mesma dimensão.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B de ordem 2 e pede (a) calcular det(A), det(B) e depois det(Acdot B); (b) generalizar o resultado para matrizes quadradas de mesma dimensão. O conteúdo é determinante de matrizes, em particular a fórmula para matrizes 2times2 e a propriedade multiplicativa do determinante.

Passo 2

Para uma matriz 2times2, se
M=a & b c & d,
então
det(M)=a,d - b,c
Logo, para
A=1 & 23 & 4
temos
det(A)=1cdot4 - 2cdot3 = 4 - 6 = -2,
e para
B=2 & 00 & 3
temos
det(B)=2cdot3 - 0cdot0 = 6

Passo 3

Agora calculamos o produto Acdot B:
Acdot B =1cdot2+2cdot0 & 1cdot0+2cdot3[6pt] 3cdot2+4cdot0 & 3cdot0+4cdot3 =2 & 66 & 12
Aplicando a fórmula do determinante a essa matriz:
det(Acdot B) =2cdot12 - 6cdot6 = 24 - 36 = -12
Observamos que -12 = (-2)cdot6 = det(A),det(B).]

Passo 4

O que fizemos ilustra a propriedade geral dos determinantes: para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma dimensão,
det(Acdot B) = det(A),det(B)
Isso vale em dimensão arbitrária e é uma das propriedades fundamentais do determinante.

Resposta

(a) det(A)=-2, det(B)=6 e det(Acdot B)=-12.
(b) Para matrizes quadradas A e B de mesma dimensão, vale det(A,B)=det(A),det(B).

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